Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
(Hải Phòng)
1) Cho \(a,b\)là hai số dương. Chứng minh rằng
\(3\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(b+2a\right)^2\).
2) Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2}\). Chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\).
(Hải Phòng)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\).
(Bình Định)
Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng
\(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\).
(Nghệ An)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{1}{2}\).
(Bắc Giang)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\).
(Hải Phòng)
1) Cho \(x,y>0\), chứng minh rằng \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\).
2) Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\). Chứng minh rằng
\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{8}{3}\).
(Thanh Hóa)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(a^2+2b^2\le3c^2\) . Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge\dfrac{3}{c}\).
(Hưng Yên)
Cho \(a,b,c\) là ba số lớn hơn 1. Chứng minh rẳng \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\).
(Bình Định)
Cho \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)
và \(B=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\).
Chứng minh rằng \(B>A\).
(Nghệ An)
Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\ge3\). Chứng minh rằng
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
