Question

Biết \(xy=1\) và \(|x+y|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức sau:

\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5x^{2016}+4y}+2\right)^{2017}-\frac{x^{2015}}{y^{2016}}\)

Answer 1

Có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4\) (Vì xy = 1)

\(\Rightarrow|x+y|\ge2\)

Dấu "=" xả ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)

Xét x = y = 1 ta được:

\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.1^{2016}+4.1}-2\right)^{2017}-\frac{1^{2015}}{1^{2016}}\)

\(M=\frac{3}{4}\)

Xét x = y = -1 ta được:

\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.\left(-1\right)^{2016}+4.\left(-1\right)}\right)^{2017}-\frac{\left(-1\right)^{2015}}{\left(-1\right)^{2016}}\)

\(M=\frac{7}{4}+3^{2017}\)

Vậy với \(xy=1\)và \(|x+y|\)đạt giá trị nhỏ nhất thì M nhận 2 giá trị là \(\orbr{\begin{cases}M=\frac{3}{4}\\M=\frac{7}{4}+3^{2017}\end{cases}}\)

Answer 2

Có |x+y| lớn hơn hoặc bằng 

|x|+|y| dấu bằng sảy ra <=>

xy lớn hơn hoặc bằng 0

mà xy=1 => |x+y|=|x|+|y| (1)

Ta lại có:|x|+|y|-2\(\sqrt{xy}=\)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)Lớn hơn hoặc bằng 0

=>|x|+|y| lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{xy}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

=>|x+y| lớn hơn hoặc bằng 2

=>MIN |x+y|=2

Dấu bằng sảy ra 

<=>|x+y|=2

Hay |x|+|y|=\(2\sqrt{xy}\)

=>\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

=>\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Rightarrow x=y\)

Mà |x+y|=2

TH1: x+y=2=>x=y=1

Thay vào M ta tính được M=3/4

TH2:x+y=-2 =>  x=y=-1

Thay vào M ta được

M=3/4

Vậy: M=3/4