Question

Biết n \(\in\) N. Tìm n để 1! + 2! + ... + n! là bình phương của 1 số tự nhiên

Answer 1

Làm lại cho dễ hiểu hơn :

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương 
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . 
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

Answer 2

Ta xét : n = 1 thì 1! = 1²

            n = 2 thì 1! +2! = 3

            n = 3  thì 1! + 2! + 3! = 9 =3²

            n = 4 thì 1!+ 2! +3! + 4! = 33

Với n > 4 thì n! = 1.2.3.........n là mội số chẳn. Nên 1!+2!+......+n! = 33 cộng với một số chẳn bằng  số có chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3 .Nên nó không phải là số chính phương.

   Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! +.......+n! là số chính phương.