Ta có aabb = 11*a0b. Số chính phương aabb chia hết cho 11 thì cũng
phải chia hết cho 11^2 = 121 (vì 11 là số nguyên tố) do vậy a0b chia hết cho 11.
Một số tự nhiên chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu cuả hai tổng các chữ số
ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn chia hết cho 11 (đây là tính chất chia
hết cho 11 có thể tự chứng minh dễ dàng). Như vậy (a + b) - 0 = a + b chia
hết cho 11.
0 < a + b <= 9 + 9 = 18 => a + b = 11
a0b = 100*a + b = 99a + a + b = 99a + 11 = 11*(9a + 1)
=> aabb = 11^2 * (9*a + 1)
=> 9*a + 1 = n^2 (vì phải là chính phương) (A)
=> 9*a = n^2 - 1 = (n - 1)*(n + 1)
=> Một trong hai số n - 1, n + 1 chia hết cho 3 (cả hai số không thể chia hết cho 3 vì
lúc đó hiệu của chúng cũng phải chia hết cho 3 mà ta thấy là không thể được vì
hiệu của n +1 và n -1 bằng 2), và hơn thế nữa số đó phải chia hết cho 9 bởi
vì tich của chúng chia hết cho 9 mà số thứ hai không chia hết cho 3.
Số n -1 không thể chia hết cho 9 bởi nó nhỏ hơn 9 (n -1 <= 9 - 1 = 8)
do vậy n + 1 = 9 (số n + 1 không thể lớn hơn hoặc bằng 18 - cũng là bội số của 9 -
bởi lúc đó (n - 1)*(n + 1) >= 16 * 18 > 100 > 9*a).
=> n = 8
=> aabb = 11^2 * 8^2 = 88^2 = 7744
Cũng có thể không lý luận mà chỉ "hì hục" tính toán thì thế này:
Ta có thể tìm a để cho 9*a + 1 là chính phương - dòng (A) - bằng cách thay
a = 1, 2, ..., 9 thì chỉ có a = 7 là thỏa mãn. Còn b = 11 - a = 11 - 7 = 4.
=> a+b=7+4=11
tick nha
