Các bước biển đổi:
\(a^{12}+b^{12}=a^{12}+a^{11}.b+a.b^{11}+b^{12}-a^{11}.b-a.b^{11}\)
\(=a^{11}\left(a+b\right)+b^{11}\left(a+b\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)\)
\(a^{12}+b^{12}=\left(a+b\right)\left(a^{11}+b^{11}\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)\) \(\left(1\right)\)
Vì \(a^{10}+b^{10}=a^{11}+b^{11}=a^{12}+b^{12}\) (theo giả thiết)
nên từ \(\left(1\right)\) \(\Rightarrow\) \(a^{12}+b^{12}=\left(a+b\right)\left(a^{12}+b^{12}\right)-ab\left(a^{12}+b^{12}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^{12}+b^{12}=\left(a^{12}+b^{12}\right)\left(a+b-ab\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a+b-ab=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(a-ab+b-1=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a\left(1-b\right)-\left(1-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(1-b\right)\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(1-b=0\) hoặc \(a-1=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a=1\) hoặc \(b=1\)
\(\text{*)}\) Nếu \(a=1\) thì \(b^{10}=b^{11}=b^{12}\) và \(b>0\) nên \(b=1\)
\(\text{*)}\) Tương tự với trường hợp \(b=1\) thì \(a^{10}=a^{11}=a^{12}\) và \(a>0\) nên ta cũng được \(a=1\)
Do đó, \(a=b=1\)
Vậy, \(a^{2012}+b^{2012}=1^{2012}+1^{2012}=1+1=2\)
