Bài 1:
Vì \(ƯCLN\left(a,b\right)=16\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=16.m\\b=16.n\end{cases};\left(m,n\right)=1;m,n\in N}\)
Thay a = 16.m, b = 16.n vào a+b = 128, ta có:
\(16.m+16.n=128\)
\(\Rightarrow16.\left(m+n\right)=128\)
\(\Rightarrow m+n=128\div16\)
\(\Rightarrow m+n=8\)
Vì m và n nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\) Ta có bảng giá trị:
| m | 1 | 8 | 3 | 5 |
| n | 8 | 1 | 5 | 3 |
| a | 16 | 128 | 48 | 80 |
| b | 128 | 16 | 80 | 48 |
Vậy các cặp (a,b) cần tìm là:
(16; 128); (128; 16); (48; 80); (80; 48).
Bài 2:
Gọi d là ƯCLN (2n+1, 2n+3), d \(\in\) N*
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Vì 2n+3 và 2n+1 không chia hết cho 2
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(2n+1,2n+3\right)=1\)
\(\Rightarrow\) 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3:
Chứng minh A chia hết cho 3:
\(A=2+2^2+2^3+...+2^{2010}\)
\(\Rightarrow A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\)
\(\Rightarrow A=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+...+2^{2009}.\left(1+2\right)\)
\(\Rightarrow A=2.3+2^3.3+...+2^{2009}.3\)
\(\Rightarrow A=3.\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)\)
\(\Rightarrow A⋮3\)
Chứng minh A chia hết cho 7:
\(A=2+2^2+2^3+...+2^{2010}\)
\(\Rightarrow A=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\)
\(\Rightarrow A=2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}.\left(1+2+2^2\right)\)
\(\Rightarrow A=2.7+2^4.7+...+2^{2008}.7\)
\(\Rightarrow A=7.\left(2+2^4+...+2^{2008}\right)\)
\(\Rightarrow A⋮7\)
