Question

Bài1: Cho Tam giác ABC nhọn , kẻ \(BE\perp AC\) tại E và \(CD\perp AB\)tại D. Gọi H là giao điểm của BE và CD, Kẻ\(HM\perp BC\) tại M.

a, Chứng minh 3 điểm A, H, M thẳng hàng

b, Chứng minh: \(BH.BE+CH.CD=BC^2\)

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB<AC ), đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho \(\widehat{CDx}=\widehat{BAC}\) (tia Dx và điểm A cùng phía đối với BC), tia Dx cắt AC ở E. Chứng minh :

a, Tam giác ABC đồng dạng tam giác DEC

b, DE=DB

Answer 1

bạn tự vẽ hinh nha

1)

Xét tam giác ABC có

hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H nên H là trực tâm

do đó \(AH\perp BC\)

mà \(HM\perp BC\)

suy ra AH trùng với HM 

vậy A; H; M thẳng hàng

b) 

dễ chứng minh tam giác BHM đồng dạng với tam giác BCE \(\Rightarrow\frac{BH}{BC}=\frac{BM}{BE}\Rightarrow BH\cdot BE=BC\cdot BM\left(1\right)\)

dễ chứng minh tam giác CHM đồng dạng với tam giác CBD \(\Rightarrow\frac{CH}{BC}=\frac{CM}{CD}\Rightarrow CH\cdot CD=CM\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BE+CH\cdot CD=BM\cdot BC+CM\cdot BC=\left(BM+CM\right)\cdot BC=BC\cdot BC=BC^2\)

2)

a)

Xét tam giác ABC và tam giác DEC

có \(\widehat{BAC}=\widehat{CDE}\)

\(\widehat{ACB}\)chung

nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEC

\(\Rightarrow\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD}\left(1\right)\)

b)

Xét tam giác ABC

có AD là đường phân giác

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{BD}\Rightarrow DE=BD\)