Bài toán HSG 7
1 . Gọi a , b , c là đọ dài các cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
2 . 3 phân số có tổng bằng \(\frac{213}{70}\), các tử chúng tỉ lệ với 3 , 4 , 5 các mẫu chúng tỉ lệ với 5 , 1 ,2 . Tìm 3 phân số đó .
3 . Tìm GTLN của biểu thức : \(A=\left|x-1004\right|-\left|x+1003\right|\)
4 . Cho M \(=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)với a , b , c > 0 . Chứng tỏ rằng M không là 1 số nguyên
Bài 1 :
Vì \(a,b,c\)là độ dài các cạnh của tam giác (gt)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< a+b\\a< b+c\\b< c+a\end{cases}}\) ( theo bất đẳng thức trong tam giác )
Ta có công thức : \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right)\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
Bài 2 , để chiều nhé bạn
Bài 3 :
Cách 1 :
\(\left|x-1004\right|-\left|x+1003\right|\)
+ ) Xét \(x< -1003\)suy ra
\(\hept{\begin{cases}x+1003< 0\Rightarrow\left|x+1003\right|=-\left(x+1003\right)=-x-1003\\x-1004< 0\Rightarrow\left|x-1004\right|=-\left(x-1004\right)=-x+1004\end{cases}}\)
Khi đó : \(A=\left(-x+1004\right)-\left(-x-1003\right)=2007\)
+ ) Xét \(-1003\le x< 1004\). Suy ra
\(\hept{\begin{cases}x\ge1003\Rightarrow x+1003\ge0\Rightarrow\left|x+1003\right|=x+1003\\x< 1004\Rightarrow x-1004< 0\Rightarrow\left|x-1004\right|=-\left(x-1004\right)=-x+1004\end{cases}}\)
Khi đó : \(A=\left(-x+1004\right)-\left(x+1003\right)=1-2x\)
+ ) Xét \(x\ge1004\). Suy ra
\(\hept{\begin{cases}x-1004\ge0\Rightarrow\left|x-1004\right|=x-1004\\x+1003\ge0\Rightarrow\left|x+1003\right|=x+1003\end{cases}}\)
Khi đó : \(A=\left(x-1004\right)-\left(x+1003\right)=-2007\)
Ta thấy với \(x< -1003\)thì A đạt giá trị lớn nhất là 2007
Vậy \(A_{max}=2007\)khi \(x< -1003\)
Bài 3 :
Cách 2 :
Áp dụng BĐT \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\) ta có :
\(A=\left|x-1004\right|-\left|x+1003\right|\)
\(\le\left|\left(x-1004\right)-\left(x+1003\right)\right|\)
\(=\left|x-1004-x-1003\right|=2007\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x< -1003\)
Vậy \(A_{max}=2007\)khi \(x< -1003\)
2.
gọi:\(\frac{a}{x};\frac{b}{y};\frac{c}{z}\)
Theo đề bài ra ta có:
\(a:b:c=3:4:5\)
\(\Rightarrow a=3m;b=4m;c=5m\)
\(x:y:z=5:1:2\)
\(\Rightarrow x=5n;y=n;z=2n\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{\Rightarrow a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{3m}{5n}+\frac{4m}{n}+\frac{5m}{2n}=\frac{213}{70}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{3}{5}.\frac{m}{n}+4.\frac{m}{n}+\frac{5}{2}.\frac{m}{n}\right)=\frac{273}{70}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{3}{5}+4+\frac{5}{2}\right).\frac{m}{n}=\frac{213}{70}\)
\(\frac{\Rightarrow71}{70}.mn=\frac{213}{70}\)
\(\frac{\Rightarrow m}{n}=\frac{3}{7}\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{9}{35};\frac{b}{y}=\frac{12}{7};\frac{c}{z}=\frac{15}{14}\)
3.
Tham khảo:
Câu hỏi của Lê Huyền My
link:https://olm.vn/hoi-dap/detail/1913745234.html
4. Vẫn áp dụng TCDSBN:
Câu hỏi của Lê Mai Phương - Toán lớp 6 - Học toán với ...
https://olm.vn/hoi-dap/detail/9588023984.html
Bài 4 :
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)
Cộng theo các về trên ta được :
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\left(1\right)\)
Lại có công thức : \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\end{cases}}\)
Cộng theo các vế trên ta được
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Hay \(1< M< 2\)
\(\Rightarrow M\)không là một số nguyên ( đpcm )
Bài 2 :
Gọi các phân số cần tìm là : \(\frac{a}{b},\frac{c}{d},\frac{e}{f}\)
Theo bài ra ta có :
+ Vì tử của chúng tỉ lệ với \(3,4,5\)
Nên \(\frac{a}{3}=\frac{c}{4}=\frac{e}{5}=k_1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3k_1\\c=4k_1\\e=5k_1\end{cases}}\)
+ Vì mẫu của chúng tỉ lệ với 5 , 1 , 2
Nên \(\frac{b}{5}=\frac{d}{1}=\frac{f}{2}=k_2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=5k_2\\d=1k_2\\f=2k_2\end{cases}}\)
Mặt khác : \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{213}{70}\)
\(\Rightarrow\frac{3k_1}{5k_2}+\frac{4k_1}{1k_2}+\frac{5k_1}{2k_2}=\frac{213}{70}\)
Hay \(\frac{6k_1+40k_1+25k_1}{10k_2}=\frac{71k_1}{10k_2}=\frac{213}{70}\)
\(\Rightarrow\frac{k_1}{k_2}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{3}{7}.\frac{3}{5}=\frac{9}{35}\)
\(\frac{c}{d}=\frac{3}{5}.4=\frac{12}{7}\)
\(\frac{e}{f}=\frac{3}{7}.\frac{5}{2}=\frac{15}{14}\)
Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng \(\frac{213}{70}\)
Vậy 3 phân số cần tìm là : \(\frac{9}{35};\frac{12}{7};\frac{15}{14}\)
