Gọi \(d\inƯC\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2};2n+1\right)\) (d \(\in\) N*) \(\Rightarrow\) \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)⋮ d hay n(n + 1) ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d.
Suy ra n(2n + 1) - n(n + 1) = 2n2 + n - n2 + n = n2 + (n2 + n - n2 + n) = n2 ⋮ d.
Từ n(n + 1) = n2 + n ⋮ d và n2 ⋮ d \(\Rightarrow\) n ⋮ d.
Ta lại có 2n + 1 ⋮ d , mà n ⋮ d \(\Rightarrow\) 2n ⋮ d , do đó 1 ⋮ d. \(\Rightarrow\) d = 1
Vậy ƯCLN của \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n + 1 là 1.
Gọi
d
∈
Ư
C
(
n
(
n
+
1
)
2
;
2
n
+
1
)
(d
∈
N*)
⇒
n
(
n
+
1
)
2
⋮ d hay n(n + 1) ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d.
Suy ra n(2n + 1) - n(n + 1) = 2n2 + n - n2 + n = n2 + (n2 + n - n2 + n) = n2 ⋮ d.
Từ n(n + 1) = n2 + n ⋮ d và n2 ⋮ d
⇒
n ⋮ d.
Ta lại có 2n + 1 ⋮ d , mà n ⋮ d
⇒
2n ⋮ d , do đó 1 ⋮ d.
⇒
d = 1
Vậy ƯCLN của
n
(
n
+
1
)
2
và 2n + 1 là 1.