Bài tập sử dụng BĐT Cauchy
B1: Cho số thực \(a\ge6\). Tìm GTNN của biểu thức
\(A=a^2+\frac{18}{a}\)
B2: Cho các thực dương a,b thỏa mãn \(a+b\le1\) . Tìm GTNN của biểu thức
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
B3: Cho a,b là các số thực dương tùy ý. Tính GTNN của biểu thức
\(A=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
B1
Ta có
\(A=\frac{a^2}{24}+\frac{9}{a}+\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{24}.\frac{9}{a}.\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}}\ge\frac{9}{2}+\frac{23.36}{24}\ge39\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=6
Vậy Min A = 39 <=> a=6
\(A=a^2+\frac{18}{a}=a^2+\frac{216}{a}+\frac{216}{a}-\frac{414}{a}\ge3\sqrt[3]{a^2.\frac{216}{a}.\frac{216}{a}}-69=39\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 6
B3: Áp dụng bđt AM-GM
\(A=\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{ab}}{a+b}}+\frac{3\left(a+b\right)}{4\left(\frac{a+b}{2}\right)}\)
\(=1+\frac{3\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b>0\)
Mấy bài này đơn giản mà
B2
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le4\Rightarrow ab\ge-4\)
Do đó ta được
\(A=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}-15ab}\ge8-15.\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2
Vậy Min A=1/2 <=> a=b=1/2
B2; Ta có bđt CBS dạng Engel với n=2 sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
Chứng minh: Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}}=2\sqrt{\frac{4}{\left(x+y\right)^2}}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y>0\)
Áp dụng vào bài:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\ge\frac{4}{1+a^2+b^2+2ab+4ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(=\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\ge\frac{4}{1+1^2+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}+\frac{1}{3\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\ge\frac{4}{2+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\).
B3
Ta có
\(A=\left(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\right)+\frac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{ab}}{a+b}}+\frac{3.2\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Vậy Min A =5/2 <=> a=b
