Question

Bài 5: Cho hình thoi ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của C qua B

a. Chứng minh: tứ giác ACEF là hình chữ nhật

b. Chứng minh: AF // BD

c. Cho DE cắt BC tại P, DF cắt AB tại Q. Chứng minh: AC=2PQ

d. Hình thoi ABCD phải thêm điều kiện gì để ADCE là hình thang cân

Answer 1

a)Ta có AB = BE (A,E đối xứng nhau qua B)

             CB = BF (C,F đối xứng nhau qua B)    

⇒Tứ giác ACEF là h.b.h(2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà AB=AC(Tứ giác ABCD là h.thoi)

⇒AB=AC=BE=BF

⇒CF=AE

⇒Tứ giác ACEF là h.c.n(Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau)

b)Vì tứ giác ACEF là h.c.n(Chứng minh trên)

⇒AF//EC(2 cạnh đối xứng của h.c.n)

c)Vì AB=AC=BE=BF

mà AB=BC=CD=DA

⇒BF=AD;BE=BC (1)

Vì AD//BC;CD//AB

⇒CD//AE;AD//CF

⇒CD//BE;AD//BF (2)

Từ (1) và (2)⇒Tứ giác AFBD,BDCE h.b.h

⇒Q là trung điểm AB,P là trung điểm BC(H.b.h có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

△ABC có:Q là trung điểm AB

                 P là trung điểm BC

⇒QP là đường trung bình của △ABC

⇒QP=\(\dfrac{1}{2}\)AC hay AC=2QP

d)Ta có CD//AE (Cmt)

⇒Tứ giác ADCE là h.thang

Để tứ giác ADCE là h.thang cân

⇒AD=CE

mà AD=BC

⇒BC=CE

⇒△BEC cân tại C

Mặt khác:BC=BE(Cmt)

⇒△BEC cân tại B

⇒△BEC đều

⇒EBC^=60°

Ta có EBC^+ABC^=180°(2 góc kề bù)

⇒60°+ABC^=180°

⇒ABC^=180°-60°=120°

Vậy hình thoi ABCD cần ABC^=ADC^=120°