Question

Bài 3. Tìm số tự nhiên n có đúng 3 ước nguyên tố phân biệt. Biết rằng nmũ3 có đúng 1729 ước tự nhiên, hỏi nmũ2
có bao nhiêu ước tự nhiên.

Answer 1

Phân tích n thành thừa số nguyên tố: n = p(1)ⁿ⁽¹⁾.p(2)ⁿ⁽²⁾.p(3)ⁿ⁽³⁾

Do đó n³ = p(1)³ⁿ⁽¹⁾.p(2)³ⁿ⁽²⁾.p(3)³ⁿ⁽³⁾

Số ước tự nhiên của n³ là [3n(1) + 1][3n(2) + 1][3n(3) + 1] = 1729.

Phân tích 1729 thành thừa số nguyên tố: 1729 = 7.13.19

Không mất tính tổng quát, ta coi vai trò của n(1); n(2) và n(3) là như nhau. Khi đó

3n(1) = 7 - 1 = 6, suy ra n(1) = 6 : 3 = 2

3n(2) = 13 - 1 = 12, suy ra n(2) = 12 : 3 = 4

3n(3) = 19 - 1 = 18, suy ra n(3) = 18 : 3 = 6

Do đó n = p(1)².p(2)⁴.p(3)⁶, suy ra n² = p(1)⁴.p(2)⁸.p(3)¹²

Vậy số ước tự nhiên của n² là: (4 + 1)(8 + 1)(12 + 1) = 585 (ước tự nhiên)