Question

Bài 24 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau:

a) $\sqrt{4(1+6x+9x^2)^2}$           tại $x=−\sqrt{2}$ ; 

b) $\sqrt{9a^2(b^2+4−4b)}$           tại $a=−2;b=−\sqrt{3}$.

Answer 1

a) Ta có: 

√4(1+6x+9x2)24(1+6x+9x2)2 =√4.√(1+6x+9x2)2=4.(1+6x+9x2)2

                                   =√4.√(1+2.3x+32.x2)2=4.(1+2.3x+32.x2)2

                                   =√22.√[12+2.3x+(3x)2]2=22.[12+2.3x+(3x)2]2

                                   =2.√[(1+3x)2]2=2.[(1+3x)2]2

                                   =2.∣∣(1+3x)2∣∣=2.|(1+3x)2|

                                   =2(1+3x)2=2(1+3x)2.

 (Vì  (1+3x)2>0(1+3x)2>0 với mọi xx  nên ∣∣(1+3x)2∣∣=(1+3x)2|(1+3x)2|=(1+3x)2)

Thay x=−√2x=−2 vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

                                2[1+3.(−√2)]2=2(1−3√2)22[1+3.(−2)]2=2(1−32)2.

Bấm máy tính, ta được: 2(1−3√2)2≈21,0292(1−32)2≈21,029.

b) Ta có:

√9a2(b2+4−4b)=√32.a2.(b2−4b+4)9a2(b2+4−4b)=32.a2.(b2−4b+4)

                                  =√(3a)2.(b2−2.b.2+22)=(3a)2.(b2−2.b.2+22)

                                  =√(3a)2.√(b−2)2=(3a)2.(b−2)2

                                  =|3a|.|b−2|=|3a|.|b−2|

Thay a=−2a=−2 và b=−√3b=−3 vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

|3.(−2)|.∣∣−√3−2∣∣=|−6|.∣∣−(√3+2)∣∣|3.(−2)|.|−3−2|=|−6|.|−(3+2)|

                                     =6.(√3+2)=6√3+12=6.(3+2)=63+12.

Bấm máy tính, ta được: 6√3+12≈22,39263+12≈22,392. 

 

Answer 2

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.\sqrt{\left[\right(1+3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.|(1+3x{)}^2|$

                                       $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x{)}^2|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

$2[1+3.(-\sqrt{2}){]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2(1-3\sqrt{2}{)}^2$ $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b-2{)}^2}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(-2)|.|-\sqrt{3}-2|=|-6|.|-\sqrt{3}-2|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12$ $\approx$ $22,392$.

Answer 3

a) x = 21 , 029

b) x = 22 , 392

Answer 4

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ $=\sqrt{4}.\sqrt{{(1+6x+9x^2)}^2}$

                                   $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                   $=\sqrt{2^2}.\sqrt{{\left[1^2+2.3x+(3x{)}^2\right]}^2}$

                                   $=2.\sqrt{{\left[{\left(1+3x\right)}^2\right]}^2}$

                                   $=2.\left|(1+3x{)}^2\right|$

                                   $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2>0$ với mọi $x$  nên $\left|(1+3x{)}^2\right|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

                                $2{\left[1+3.(-\sqrt{2})\right]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2{\left(1-3\sqrt{2}\right)}^2\approx 21,029$.

 

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                  $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                  $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                  $=\left|3a\right|.\left|b-2\right|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$\left|3.(-2)\right|.\left|-\sqrt{3}-2\right|=\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2)\right|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12\approx 22,392$

 

Answer 5

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.\sqrt{\left[\right(1+3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.|(1+3x{)}^2|$

                                       $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x{)}^2|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

$2[1+3.(-\sqrt{2}){]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2(1-3\sqrt{2}{)}^2$ $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b-2{)}^2}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(-2)|.|-\sqrt{3}-2|=|-6|.|-\sqrt{3}-2|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12$ $\approx$ $22,392$.

Answer 6

a) 

Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.\sqrt{\left[\right(1+3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.|(1+3x{)}^2|$

                                       $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x{)}^2|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

$2[1+3.(-\sqrt{2}){]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2(1-3\sqrt{2}{)}^2$ $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b-2{)}^2}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(-2)|.|-\sqrt{3}-2|=|-6|.|-\sqrt{3}-2|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12$ $\approx$ $22,392$.

Answer 7

Answer 8

a) \(\sqrt{4\left(1+6x+9x^2\right)^2}=2\left(1+6x+9x^2\right)=2\left(3x+1\right)^2=2.\left[3.\left(-\sqrt{2}\right)+1\right]^2\)

Answer 9

Answer 10

Answer 11

Answer 12

Answer 13

Answer 14

a) 2(1 - 6\(\sqrt{2}\) + 9\(\left(-\sqrt{2}\right)^2\) = 2 - 12\(\sqrt{2}\) + 36 = 38 - 12\(\sqrt{2}\) = 21.03
b) -6.(-\(\sqrt{3}^2\) + 4 + 4\(\sqrt{3}\)) = -6( \(\sqrt{3}\) + 2)² = -83.57

Answer 15

Answer 16

a) Ta có: 

\sqrt{4(1+6x+9x^2)^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2)^2}4(1+6x+9x2)2​=4​.(1+6x+9x2)2​

                                       =\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}=4​.(1+2.3x+32.x2)2​

                                       =\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x)^2]^2}=22​.[12+2.3x+(3x)2]2​

                                       =2.\sqrt{[(1+3x)^2]^2}=2.[(1+3x)2]2​

                                       =2.|(1+3x)^2|=2.∣(1+3x)2∣

                                       =2(1+3x)^2=2(1+3x)2.

 (Vì  (1+3x)^2\ge 0(1+3x)2≥0 với mọi $x$ nên |(1+3x)^2|=(1+3x)^2∣(1+3x)2∣=(1+3x)2)

Thay x=−\sqrt{2}x=−2​ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

2[1+3.(−\sqrt{2})]^2=2(1−3\sqrt{2})^22[1+3.(−2​)]2=2(1−32​)2.

vì 2(1−3\sqrt{2})^22(1−32​)2 $\approx$ $21,029$

 

b) Ta có:

\sqrt{9a^2(b^2+4−4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2−4b+4)}9a2(b2+4−4b)​=32.a2.(b2−4b+4)​

                                      =\sqrt{(3a)^2.(b^2−2.b.2+2^2)}=(3a)2.(b2−2.b.2+22)​

                                      =\sqrt{(3a)^2.(b-2)^2}=(3a)2.(b−2)2​

                                      =\sqrt{(3a)^2}.\sqrt{(b−2)^2}=(3a)2​.(b−2)2​

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và b=−\sqrt{3}b=−3​ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

|3.(−2)|.|−\sqrt{3}−2|=|−6|.|−\sqrt{3}-2|∣3.(−2)∣.∣−3​−2∣=∣−6∣.∣−3​−2∣

                                     =6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12=6.(3​+2)=63​+12.

 ta được: 6\sqrt{3}+1263​+12 $\approx$ $22,392$.

 

Answer 17

Answer 18

a=2(1+3x)²

Answer 19

Answer 20

a) \(\sqrt{4\left(1+6x+9x^2\right)^2}\)  tại \(x=-\sqrt{2}\)
=\(\sqrt{4[\left(1+3x\right)^2]^2}\)
=\(2.\left|\left(1+3x\right)^2\right|\)
=\(2.\left(1+3x\right)^2\) vì \(\left(1+3x\right)^2\ge0\forall x\)
Thay \(x=-\sqrt{2}\) vào \(\sqrt{4\left(1+6x+9x^2\right)^2}\) ta được:
\(2.\left[1+3.\left(-\sqrt{2}\right)\right]^2\)
=2(1 - 6√2 + 32.2) = 2 - 12√2 + 36

= 38 - 12√2 = 38 - 12.1,414 = 38 - 16,968=21,032


b)\(\sqrt{9a^2\left(b^2+4-4b\right)}\) tại \(a=-2\) ;\(b=-\sqrt{3}\)
=\(\sqrt{9a^2.\left(b-2\right)^2}\)
=\(\left|3a\right|.\left|b-2\right|\)
Thay \(a=-2\) \(;b=-\sqrt{3}\) vào ta được:
=\(\left|3.\left(-2\right)\right|.\left|-\sqrt{3}-2\right|\)
=\(6\left(\sqrt{3}+2\right)\)
=\(\text{6(1,732 + 2) = 6.3,732}\) \(\text{= 22,392}\)

Answer 21

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.\sqrt{\left[\right(1+3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.|(1+3x{)}^2|$

                                       $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x{)}^2|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

$2[1+3.(-\sqrt{2}){]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2(1-3\sqrt{2}{)}^2$ $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b-2{)}^2}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(-2)|.|-\sqrt{3}-2|=|-6|.|-\sqrt{3}-2|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12$ $\approx$ $22,392$.

Answer 22

a) \sqrt{4(1+6x+9x^2)^2}4(1+6x+9x2)2​           tại x=−\sqrt{2}x=−2​ ; 

b) \sqrt{9a^2(b^2+4−4b)}9a2(b2+4−4b)​           tại a=−2;b=−\sqrt{3}a=−2;b=−3​.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\sqrt{4(1+6x+9x^2)^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2)^2}4(1+6x+9x2)2​=4​.(1+6x+9x2)2​

                                       =\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}=4​.(1+2.3x+32.x2)2​

                                       =\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x)^2]^2}=22​.[12+2.3x+(3x)2]2​

                                       =2.\sqrt{[(1+3x)^2]^2}=2.[(1+3x)2]2​

                                       =2.|(1+3x)^2|=2.∣(1+3x)2∣

                                       =2(1+3x)^2=2(1+3x)2.

 (Vì  (1+3x)^2\ge 0(1+3x)2≥0 với mọi $x$ nên |(1+3x)^2|=(1+3x)^2∣(1+3x)2∣=(1+3x)2)

Thay x=−\sqrt{2}x=−2​ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

2[1+3.(−\sqrt{2})]^2=2(1−3\sqrt{2})^22[1+3.(−2​)]2=2(1−32​)2.

Bấm máy tính, ta được: 2(1−3\sqrt{2})^22(1−32​)2 $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

\sqrt{9a^2(b^2+4−4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2−4b+4)}9a2(b2+4−4b)​=32.a2.(b2−4b+4)​

                                      =\sqrt{(3a)^2.(b^2−2.b.2+2^2)}=(3a)2.(b2−2.b.2+22)​

                                      =\sqrt{(3a)^2.(b-2)^2}=(3a)2.(b−2)2​

                                      =\sqrt{(3a)^2}.\sqrt{(b−2)^2}=(3a)2​.(b−2)2​

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và b=−\sqrt{3}b=−3​ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

|3.(−2)|.|−\sqrt{3}−2|=|−6|.|−\sqrt{3}-2|∣3.(−2)∣.∣−3​−2∣=∣−6∣.∣−3​−2∣

                                     =6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12=6.(3​+2)=63​+12.

Bấm máy tính, ta được: 6\sqrt{3}+1263​+12 $\approx$ $22,392$.

Answer 23

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                       $=\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.\sqrt{\left[\right(1+3x{)}^2{]}^2}$

                                       $=2.|(1+3x{)}^2|$

                                       $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x{)}^2|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

$2[1+3.(-\sqrt{2}){]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2(1-3\sqrt{2}{)}^2$ $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2.(b-2{)}^2}$

                                      $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                      $=|3a|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(-2)|.|-\sqrt{3}-2|=|-6|.|-\sqrt{3}-2|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

 

Answer 24

Answer 25

a) \(\approx\)21,029 

b)\(\approx\)22,392

 

Answer 26

Sử dụng các công thức sau: 

+) a^2−b^2=(a−b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b).

+) (\sqrt{a})^2=a(a​)2=a,   với $a\ge 0$.

Chú ý: Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau, ta chứng minh tích của hai số bằng $1$.

a) Ta có:

(2−\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2−(\sqrt{3})^2=4−3=1(2−3​)(2+3​)=22−(3​)2=4−3=1. (đpcm)

b)

Ta tìm tích của hai số (\sqrt{2006}−\sqrt{2005})(2006​−2005​) và (\sqrt{2006}+\sqrt{2005})(2006​+2005​).

Ta có:

(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}−\sqrt{2005})(2006​+2005​).(2006​−2005​)

= (\sqrt{2006})^2−(\sqrt{2005})^2= (2006​)2−(2005​)2

$=2006-2005=1$.

Do đó  (\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}−\sqrt{2005})=1(2006​+2005​).(2006​−2005​)=1

hay \sqrt{2006}−\sqrt{2005}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}2006​−2005​=2006​+2005​1​

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Answer 27

a) Ta có: 

2222

222

2222

22

2|

2.

222)

Thay x=−√2 vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

22.

2 ≈ 21,029.

b) Ta có:

22222−4b+4)

222)

22

22

                                      =|3a|.|b−2|

Thay a=−2 và b=−√3 vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

|3.(−2)|.|−√3−2|=|−6|.|−√3−2|

                                     =6.(√3+2)=6√3+12.

Bấm máy tính, ta được: 6√3+12 ≈ 22,392.

 

Answer 28

Answer 29

Answer 30

a) $\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ 

=$\sqrt{4.}\sqrt{{(1+6x+9x^2)}^2}$

= $2\left(1+6x+9x^2\right)$

Tại $x=–\sqrt{2}$, giá trị của $\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ là

$\begin{array}{c}2\left(1+6\left(–\sqrt{2}\right)+9{\left(–\sqrt{2}\right)}^2\right)\\ =2\left(1–6\sqrt{2}+9.2\right)\\ =2\left(19–6\sqrt{2}\right)\approx 21,029\end{array}$

b) $\sqrt{9a^2(b^2+4–4b)}$ = $\sqrt{9a^2(b–2{)}^2}$

$\begin{array}{c}=\sqrt{9}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{\left(b–2\right)}^2}\\ =3.\left|a\right|.\left|b–2\right|\end{array}$

Tại $a=-2$ và $b=–\sqrt{3}$, giá trị của biểu thức $\sqrt{9a^2(b^2+4–4b)}$ là

$\begin{array}{c}3.\left|–2\right|.\left|–\sqrt{3}–2\right|\\ =\mathrm{3.2.}\left(\sqrt{3}+2\right)\\ =6\left(\sqrt{3}+2\right)\approx 22,39\end{array}$