Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông AC (HE thuộc AC). Các điểm I, M, E lần lượt là trung điểm của AH, BH và CD.
a) Chứng minh tứ giác ABMI là hình thang.
b) Chứng minh tứ giác IMCE là hình bình hành.
c) Gọi G là trung điểm của BE. Chứng minh M là trực tâm của tam giác IBC từ đó chứng minh tam giác IGC là tam giác cân.
d) trên tia đối của tia BH lấy điểm K sao cho BK=AC tính góc KDC
giúp mình với làm ơn
a.
Do M là trung điểm BH, I là trung điểm AH
\(\Rightarrow IM\) là đường trung bình tam giác ABH
\(\Rightarrow IM||AB\Rightarrow ABMI\) là hình thang
b.
Cũng do IM là đường trung bình tam giác ABH \(\Rightarrow IM=\dfrac{1}{2}AB\)
Mà E là trung điểm CD \(\Rightarrow CE=\dfrac{1}{2}CD\)
Do ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AB||CD\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IM=CE\\IM||CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IMCE\) là hình bình hành
c.
Do \(\left\{{}\begin{matrix}IM||AB\left(cmt\right)\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IM\perp BC\)
Lại có \(BH\perp AC\Rightarrow BH\perp IC\)
\(\Rightarrow M\) là giao điểm 2 đường cao của tam giác IBC
\(\Rightarrow M\) là trực tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow CM\) là đường cao thứ 3 hay \(CM\perp IB\)
Lại có \(CM||IE\) (do IMCE là hbh)
\(\Rightarrow IE\perp IB\Rightarrow\Delta IBE\) vuông tại I
\(\Rightarrow IG\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow IG=\dfrac{1}{2}BE\)
\(\Delta BCE\) vuông tại C có \(CG\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow CG=\dfrac{1}{2}BE\)
\(\Rightarrow CG=IG\) hay tam giác ICG cân tại G
d.
Từ K hạ \(KF\) vuông góc đường thẳng CD (F thuộc đường thẳng CD)
\(\Rightarrow KF||BC\) (cùng vuông góc CD)
\(\Rightarrow\widehat{BKF}=\widehat{HBC}\) (đồng vị) (1)
Lại có \(\widehat{HBC}=\widehat{BAC}\) (cùng phụ \(\widehat{ACB}\)) (2)
\(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\) (tính chất hình chữ nhật) (3)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{BKF}=\widehat{CDB}\) (4)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BK=AC\left(gt\right)\\AC=BD\left(\text{hai đường chéo hcn}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow BK=BD\Rightarrow\Delta BDK\) cân tại B
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BDK}\) (5)
(4);(5) \(\Rightarrow\widehat{BKF}+\widehat{BKD}=\widehat{CDB}+\widehat{BDK}\)
\(\Rightarrow\widehat{FKD}=\widehat{FDK}\)
\(\Rightarrow\Delta DKF\) vuông cân tại F
\(\Rightarrow\widehat{FDK}=45^0\) hay \(\widehat{KDC}=45^0\)
