bài 1
a) cho B = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\). Chứng minh B >99
b)chứng minh \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n\right)⋮2^n\)với n nguyên dương
c) cho đa thức f(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d . với f(0) và f(1) là các số lẻ. CMR f(x) không có nghiệm là số nguyên.
1 . Cho \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\) ( với \(n\inℕ\)và n > 1)
Chứng minh rằng \(S_n\) không là số nguyên
2 . Cho \(f\left(x\right)=ax^3+4x\left(x^2-1\right)+8\) và \(g\left(x\right)=x^3+4x\left(bx+1\right)+c-3\)trong đó a , b , c là hằng số . Xác định a , b , c để \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)
Cho \(f\left(n\right)=\left(n^2+n+1\right)^2+1\) với n là số nguyên dương.
Đặt \(P_n=\frac{f\left(1\right).f\left(3\right).f\left(5\right).......f\left(2n-1\right)}{f\left(2\right).f\left(4\right).f\left(6\right).......f\left(2n\right)}\).Chứng minh rằng:\(P_1+P_2+P_3+...........+P_n< \frac{1}{2}\)
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 7lx-3l-l4x+8l-l2-3xl
2. Cho hàm số f(x) xác định với mọi x \(\varepsilon\)Q. Cho f(a+b) =f(a.b) với mọi a, b và f(2011) = 11. Tìm f(2012)
3.Cho hàm số f thỏa mãn f(1) =1; f(2) = 3; f(n) +f(n+2) = 2f(n+1) với mọi số nguyên dương n. Tính f(1) + f(2) + f(3)+...+f(30)
4. Tính giá trị của biểu thức \(\left(\frac{3}{4}-81\right)\left(\frac{^{3^2}}{5}-81\right)\left(\frac{3}{6}^3-81\right)...\left(\frac{3}{2014}^{2011}-81\right)\)
5. Đa thức P(x) cộng với đa thức Q(x) = \(x^3-2x^2-1\) được đa thức \(^{x^2}\). Tìm hệ số tự do của P(x)
6. Cho a, b, c là các số thỏa mãn điều kiện \(\frac{2a-b}{a+b}=\frac{b-a+c}{2a-3}=\frac{2}{3}\). Tính \(\frac{\left(5b+4a\right)^5}{\left(5b+4a\right)^2\left(a+3c\right)^3}\)
a) Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)biết d=-9b
Chứng minh \(P\left(3\right).P\left(-3\right)\le0\)
b) Cho số hữu tỉ \(A=\frac{n+1}{n^2+2}\).Tìm số nguyên n để A có giá trị nguyên
Bài 1
Tính A=\(\left(\frac{1}{4}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{9}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{16}-1\right)\cdot...\cdot\left(\frac{1}{100}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{121}-1\right)\)
Bài 2
Cho A = \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}\)
B= \(\frac{1}{20\cdot38}+\frac{1}{21\cdot37}+...+\frac{1}{38\cdot20}\)
CMR \(\frac{A}{B}\)là 1 số nguyên
Bài 3
a) Cho S = 17+17^2+17^3+...+17^18 . Chứng minh rằng S chia hết cho 307
b) Cho đa thức f(x)=\(a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)
Biết rằng : f(x)=f(-1);f(2)=f(-2)
Chứng minh : f(x)=f(-x) với mọi x
Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d=1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Bài 4
Cho tam giác ABC (ab>ac), m là trung điểm của bc. Đường thẳng đi qua m vuông góc với tia phân giác của góc a tại h cắt cạnh ab, ac lần lượt tại e và f. Chứng minh
a) 2BME=ACB-B( Đây là các góc)
b) \(\frac{FE^2}{4}+AH^2=AE^2\)
c) BE=CF
Cho hình vuông có cạnh x. Viết công thức xác định hàm số cho tương ứng cạnh x của hình vuông vơi:
a. Chu vi y = f(x) của nó.
b. Diện tích y = g(x) của nó.
c. Chứng minh: \(f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+...+f\left(n\right)=\frac{4g\left(n\right)+f\left(n\right)}{2}\) ( với n<1 và khác 0)
Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) (a ,b,c là các số thực )
a) Biết 10a+2b-5c=0 . Chứng minh\(f\left(-1\right).f\left(-4\right)\ge0\)
b) Biết 13a + b + 2c=0 . Chứng minh \(f\left(-2\right).f\left(3\right)\le0\)
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) , với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng tổng f(3)+f(4)+f(5) cũng có giá trị nguyên
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với a,b,c là các số hữu tỉ không âm. Biết a+3c=2019 và a+2b=2020. Chứng minh rằng \(f\left(1\right)\le2019\frac{1}{2}\)
