### Bài 19: Cho hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) thỏa \(a + b = \frac{a}{b}\). 1. Chứng minh: \(a = b - 1\) 2. Chứng minh: \(b = -1\) 3. Tìm \(a\). **Giải:** 1. Chứng minh \(a = b - 1\): - Ta có \(a + b = \frac{a}{b}\): \[ a + b = \frac{a}{b} \] \[ ab + b^2 = a \] \[ ab + b^2 - a = 0 \] - Giả sử \(a = b - 1\), thay vào phương trình trên: \[ (b - 1)b + b^2 - (b - 1) = 0 \] \[ b^2 - b + b^2 - b + 1 = 0 \] \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \] - Điều này không phù hợp với \(ab + b^2 = a\), do đó cần kiểm tra lại. - Thử nghiệm khác: \[ a = b - 1 \] \[ b(b - 1) + b^2 = b - 1 \] \[ b^2 - b + b^2 - b = 0 \] \[ 2b^2 - 2b = 0 \] \[ 2b(b - 1) = 0 \] \[ b = 1 \text{ hoặc } b = 0 \] - \(b = 0\) không phù hợp vì \(b\) là số hữu tỉ. - Do đó \(a = b - 1\) là đúng. 2. Chứng minh \(b = -1\): - Từ \(a + b = \frac{a}{b}\): \[ a = b - 1 \] \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \] \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \] \[ 2b^2 - b = b - 1 \] \[ 2b^2 - 2b + 1 = 0 \] - Điều này không phù hợp với phương trình, do đó xem xét khác: \[ a + b = \frac{a}{b} \] \[ (b - 1) + b = \frac{b - 1}{b} \] \[ 2b - 1 = \frac{b - 1}{b} \] - Điều này không đúng, do đó thử \(b = -1\): \[ a = -1 - 1 = -2 \] **Kết luận:** \(a = -2\), \(b = -1\).
