Bài 1: Tính:
\(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2012}}{\frac{2011}{1}+\frac{2010}{2}+\frac{2009}{3}+...+\frac{1}{2011}}\)
Bài 2: \(CMR\)với \(a,b,c\in R\)(tập số thực),\(a,b,c\ne0\)thỏa mãn \(b^2=ac\)thì
\(\frac{a}{c}=\frac{\left(a+2017b\right)^2}{\left(b+2017c\right)^2}\)
Bài 3: cho \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
\(CMR\)biểu thức sau có giá trị nguyên
\(P=\frac{x+y}{z+t}=\frac{y+z}{t+x}=\frac{z+t}{x+y}=\frac{t+x}{y+z}\)
AI GIÚP MK VỚI
Bài 1: tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
\(M=a+b=c+d=e+f\)
biết \(a,b,c,d,e,f\in N\) và \(\frac{a}{b}=\frac{14}{22};\frac{c}{d}=\frac{11}{13};\frac{e}{f}=\frac{13}{17}\)
BÀi 2: cho dãy tỉ số bằng nhau;
\(\frac{2017a+b+c+d}{a}=\frac{a+2017b+c+d}{b}=\frac{a+b+2017c+d}{c}=\frac{a+b+c+2017d}{d}\)
tính \(M=\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}=\frac{c+d}{a+b}=\frac{d+a}{b+c}\)
BÀi 3: cho \(x,y,z,t\ne0\)thỏa mãn:
\(\frac{y+z+t-2017x}{x}=\frac{z+t+x-2017y}{y}=\frac{t+x+y-2017z}{z}=\frac{x+y+z-2017t}{t}\)
và \(x+y+z+t=2016\)tính giá trị của \(P=x+2y-3z+t\)
GIÚP MK VỚI
Bài 1: tìm cặp số \(\left(x,y\right)\)thỏa mãn:
\(\frac{1+3y}{12}=\frac{1+5y}{5x}=\frac{1+7y}{4x}\)
Bài 2: cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)và \(a+b+c\ne0\);\(a=2017\).tính \(b,c\)
Bài 3: a) tìm x,y,z biết \(\frac{y+x+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
b) tìm x biết \(\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}\)
c) tìm x,y biết \(\frac{2x+1}{5}=\frac{4y-5}{9}=\frac{2x+4y-4}{7x}\)
d) tìm x,y,z biết \(\frac{x}{z+y+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=x+y+z\left(x,y,z\ne0\right)\)
Cho a,b,c>0; a+b+c=3/4. Tìm min
\(M=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
BT hè vui :PP
1 ) Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1.Chứng minh rằng
\(P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14\)
2 ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=3\).Chứng minh rằng
\(\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y^3}{z^3+8}+\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\)
ta có P=\(\frac{x^2}{x\sqrt{y+3}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z+3}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x+3}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{y+3}+y\sqrt{z+3}+z\sqrt{x+3}}\)
mà \(\left(x\sqrt{y+3}+...\right)^2\le\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx+3x+3y+3z\right)\le3\left(9+3\right)=36\) ( vì xy+yz+zx<=3)
=>\(x\sqrt{y+3}+...\le6\Rightarrow P\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z=1
Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta đặt: \(0\le x\le y\le z\le1\)
Ta có:\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{xy+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x+y+z}{xy+1}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(0\le x\le1;0\le y\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\left(2\right)\)
Từ (2);(1) và \(z\le1\) suy ra: \(\frac{x+y+z}{xy+1}\le\frac{\left(xy+1\right)+1}{xy+1}\le\frac{2xy+2}{xy+1}=2\)
\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}CMR\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)
[TEX]\frac{x}{2} = \frac{y}{3} <=> \frac{x}{8} = \frac{y}{12}[/TEX]
[TEX]\frac{y}{4} = \frac{z}{5} <=> \frac{y}{12} = \frac{z}{15}[/TEX]
Suy ra:
[TEX]\frac{x}{8} = \frac{y}{12} = \frac{z}{15} [/TEX]
Mặt khác: [TEX]x+y+z=10 [/TEX]
Áp dụng tính chấmơẻ rộng của dãy tỉ số bằng nhau:
[TEX]\frac{x+y+z}{8+12+15} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7} [/TEX]
[TEX]x= \frac{16}{7}[/TEX]
[TEX]y= \frac{24}{7}[/TEX]
[TEX]z= \frac{30}{7}[/TEX]
@Ai đó:v
Tìm min của 2x^2 + y^2 +z^2 biết xy + yz + zx = 1 và x, y, z > 0
Cách của em như sau(ko chắc đâu nhé, cách này em mới nghĩ ra thôi): Ta cho k >0thỏa mãn \(A\ge k\left(xy+yz+zx\right)\)
Hay
\(2x^2-x\left(ky+kz\right)+y^2-kyz+z^2\ge0\)
Có:\(VT=2\left(x-\frac{ky+kz}{4}\right)^2+\frac{\left(8-k^2\right)y^2-\left(2k^2+8k\right)yz+\left(8-k^2\right)z^2}{8}\)
\(=2\left(x-\frac{ky+kz}{4}\right)^2+\frac{\left(8-k^2\right)\left(y-\frac{\left(2k^2+8z\right)z}{2\left(8-k^2\right)}\right)^2+\frac{z^2}{4}\left[4\left(8-k^2\right)-\frac{\left(2k^2+8k\right)^2}{8-k^2}\right]}{8}\)
Bây giờ để bđt là luôn đúng thì \(8-k^2\ge0\) và \(4\left(8-k^2\right)=\frac{\left(2k^2+8k\right)^2}{8-k^2}\)
Ngay lập tức ta thấy \(k=\sqrt{5}-1\)
Từ đó..
