Question

Bài 1 : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau :

a) A = \(|x-5|-|x-7|\)

b) B =\(|125-x|+|x-65|\)

c) C = \(|x-2015|^{2015}+\left(y-2016\right)^{2016}+1\)

Answer 1

gọi ý:

a,b biến đổi làm sao để:

a) áp dụng:  \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\)

b) áp dụng:  \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

c) Đánh giá:  \(\left|x-2015\right|^{2015}\ge0\)

                     \(\left(y-2016\right)^{2016}\ge0\)

=>  \(C\ge1\)khi  \(\hept{\begin{cases}x=2015\\y=2016\end{cases}}\)

Answer 2

a ) A = | x - 5 | - | x - 7 |

Nhận xét :

| x - 5 | - | x - 7 | < | x - 5 - x + 7 |

=> A < | 2 |

=> A < 2

Dấu "=" xảy ra khi : ( x - 5  ) ( x - 7 ) > 0 

                            TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-5>0\\x-7>0\end{cases}}\)

                                 => \(\hept{\begin{cases}x>5\\x>7\end{cases}}\)

                                    => x > 7

                             TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-5< 0\\x-7< 0\end{cases}}\)

                                   => \(\hept{\begin{cases}x< 5\\x< 7\end{cases}}\)

                                      => x < 5

Vậy A lớn nhất bằng 2 khi x < 5 hoặc x > 7

b ) B = | 125 - x | + | x - 65 |

Ta có : 

| 125 - x | + | x - 65 | > | 125 - x + x - 65 |

=> B > | 60 |

=> B > 60

Dấu " = " xảy ra khi : ( 125 - x ) ( x - 65 ) > 0

TH1 : \(\hept{\begin{cases}125-x>0\\x-65>0\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}x< 125\\x>65\end{cases}}\)

=> 65 < x < 125

TH2 : \(\hept{\begin{cases}125-x< 0\\x-65< 0\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}x>125\\x< 65\end{cases}}\)

=> 125 < x < 65 ( vô lí )

Vậy giá trị lớn nhất của B là 60 khi 65 < x < 125

c ) C = | x - 2015 |²⁰¹⁵ + ( y - 2016 )²⁰¹⁶ + 1

Nhận xét :

| x - 2015 |²⁰¹⁵ > 0 với mọi x

( y - 2016 )²⁰¹⁶ > 0 với mọi x

=> | x - 2015 |²⁰¹⁵ + ( y - 2016 )²⁰¹⁶ > 0 

=> | x - 2015 |²⁰¹⁵ + ( y - 2016 )²⁰¹⁶ + 1 > 1 

=> C > 1

Dấu "=" xảy ra khi : x - 2015 = 0

                               và y - 2016 = 0

=> x = 2015

      y = 2016

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 1 khi x = 2015 và y = 2016