Ta có :\(.\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\end{cases}}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(x^2yz\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)
\(xy^2z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)
\(xyz^2\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)
\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)
Mà hệ phương trình lại cho \(x^2yz+xy^2z+xyz^2=x^4+y^4+z^4\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với đề bài ta được : \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}}\)
