Bài 1: Giải các phương trình sau
a)\(\left(6x+8\right)\left(6x+6\right)\left(6x+7\right)^2=72\)
b)\(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=\frac{1}{18}\)
Bài 2: Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF) AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M,N.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC=2EF
c) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)
Bài 3: Cho \(a_n=1+2+3+...+n\)chứng minh rằng \(a_n+a_{n+1}\)là số chính phương
Bài 1:
a) Đặt \(6x+7=y\)
\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)
\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)
Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)
\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)
b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)
Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)
Bài 3:
Ta có:
\(a_n=1+2+3+...+n\)
\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)
\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)
\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)
Là SCP => đpcm
Bài 1.
a) ( 6x + 8 )( 6x + 6 )( 6x + 7 )2 = 72
Đặt t = 6x + 7
pt <=> ( t + 1 )( t - 1 )t2 = 72
<=> ( t2 - 1 )t2 - 72 = 0
<=> t4 - t2 - 72 = 0
Đặt a = t2 ( a ≥ 0 )
pt <=> a2 - a - 72 = 0
<=> a2 + 8a - 9a - 72 = 0
<=> a( a + 8 ) - 9( a + 8 ) = 0
<=> ( a + 8 )( a - 9 ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+8=0\\a-9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-8\left(loai\right)\\a=9\left(nhan\right)\end{cases}}\)
=> t2 = 9 => t = ±3
=> \(\orbr{\begin{cases}6x+7=3\\6x+7=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)
b) \(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=18\)
<=> \(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
ĐK : x ≠ -4 ; x ≠ -5 ; x ≠ -6 ; x ≠ -7
<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
<=> \(\frac{x+7}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}-\frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
<=> \(\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
<=> x2 + 11x + 28 = 54
<=> x2 + 11x + 28 - 54 = 0
<=> x2 + 11x - 26 = 0
<=> x2 - 2x + 13x - 26 = 0
<=> x( x - 2 ) + 13( x - 2 ) = 0
<=> ( x - 2 )( x + 13 ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+13=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-13\end{cases}\left(tm\right)}\)
B2:
Bẹn tự vẽ hình nhá!
a) Xét tam giác DAM và tam giác ABF có: : \(\widehat{DAM}=\widehat{ABF}\)( cùng phụ \(\widehat{BAH}\))
AB=AD(gt)
\(\widehat{B\text{AF}}=\widehat{ADM}=90^o\)
( ABCD là hình vuông)
=> tam giác DAM = tam giác ABF (g.c.g)
=> DM=AF( 2 cạnh tương ứng )
Mà AF= AE (gt)
=> AE=DM
Lại có AE//DM ( vì AB//DC)
=> tứ giác AEMD là hình bình hành.
Mặt khác góc DAE = 90 0 (gt)
=> tứ giác AEMD là HCN (ĐPCM)
b) Ta có: \(\Delta ABH~\Delta FAH\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{\text{AF}}=\frac{BH}{AH}hay\frac{BC}{AE}=\frac{BH}{AH}\left(AB=BC;AE=\text{AF}\right)\)
Lại có: góc HAB = góc HBC ( cùng phụ góc ABH)
=> \(\Delta CBH~\Delta EAH\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{S_{\Delta CBH}}{S_{\Delta EAH}}=\left(\frac{BC}{AE}\right)^2\)
mà \(\frac{S_{\Delta CBH}}{S_{\Delta EAH}}=4\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{BC}{AE}\right)^2=4\Rightarrow BC^2=\left(2AE\right)^2\Rightarrow BC=2AE\)
=> E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
Do đó: BD =2EF hay AC=2EF(đpcm)
c) Do AD//CN(gt)
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét, ta có:
\(\frac{AD}{CN}=\frac{AM}{MN}\Rightarrow\frac{AD}{AM}=\frac{CN}{MN}\)
Lại có: MC//AB(gt)
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét, ta có:
\(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AB}\Rightarrow\frac{AB}{AN}=\frac{MC}{MN}hay\frac{AD}{AN}=\frac{MC}{MN}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{AM}\right)^2+\left(\frac{AD}{AN}\right)^2=\left(\frac{CN}{MN}\right)^2+\left(\frac{CM}{MN}\right)^2=\frac{CN^2+CM^2}{MN^2}=\frac{MN^2}{MN^2}=1\left(Pi-ta-go\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{AM}\right)^2+\left(\frac{AD}{AN}\right)^2=1\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\left(\text{Đ}PCM\right)\)
