Question

BÀI 1:   CMR  với mọi số tự nhiên \(n\ge3\)

\(B=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{12}\)

BÀI 2:   CMR  với mọi số tự nhiên \(n\ge1\)

\(A=\left(1+\frac{1}{1.3}\right)\left(1+\frac{1}{2.4}\right)\left(1+\frac{1}{3.5}\right)...\left(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right)< 2\)

BÀI 3:  CMR  với mọi số tự nhiên \(n\ge2\)

\(B=\left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right)....\left(1-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}\)

M.N  giúp mk với!!!!!

Answer 1

vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé

1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Do đó : 

\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)

Answer 2

2.

Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó : 

\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)

Answer 3

3.

Nhận xét ; \(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Do đó : \(B=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}...\frac{\left(n-1\right)n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Rút gọn được : B = \(\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}>\frac{1}{3}\)

Answer 4

tks bn nhiều nhé, nhưng mấy bài này mk lm đc từ lâu oy. Dù sao cx cảm ơn sự nhiệt tình của bạn