Question

Bài 1: Chứng minh A= \(\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}\)Là hợp số.

Bài 2: Tìm các số nguyên tố p để \(p^2+2^p\)là số nguyên tố.

 

Answer 1

Đặt 5²⁵ = a thì

\(A=\frac{a^5-1}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(a^4+a^3+a^2+a+1\right)}{a-1}=a^4+a^3+a^2+a+1\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-5a\left(a+1\right)^2\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-5^{26}\left(a+1\right)^2\)

\(=\)[a² + 3a + 1 + 5¹³ (a + 1)][a² + 3a + 1 - 5¹³ (a + 1)]

Đây là tích hai số khác 1 nên A là hợp số

Answer 2

\(A=\frac{5^{25.5}-1}{5^{25}-1}\)=\(\frac{a^5-1}{a-1}\) =\(\frac{\left(a-1\right)\left(a^4+a^3+a^2+a^1+1\right)}{a-1}\)=\(\left(a^4+a^3+a^2+a^1+1\right)\)

voi a=5^{^25}

^{=> A co tan cung =4  luon chia het cho2 => A la hop so}

Answer 3

Trường hợp p = 2 thì 2^p + p^2 = 8 là hợp số. 
Trường hợp p = 3 thì 2^p + p^2 = 17 là số nguyên tố. 
Trường hợp p > 3. Khi đó p không chia hết cho 3 và p là số lẻ. Suy ra p chia cho 3 hoặc dư 1 hoặc dư 2, do đó p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.

Lại vì p lẻ nên 2^p + 1 chia hết cho 3.

Thành thử (2^p + 1) + (p^2 - 1) = 2^p + p^2 chia hết cho 3

=> 2^p + p^2  là hợp số. 
Vậy p = 3

Answer 4

Cảm ơn các bạn nhiều! 

Nhưng cho mình hỏi là vì sao khi p lẻ thì 2^p +1 chia hết cho 3?

Answer 5

Bạn học hằng đẳng thức đàn nhớ chưa ta.

Cái hằng đẳng thức

\(a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}\right)\)

Chỉ đúng với n lẻ thôi nên

\(2^p+1=2^p+1^p=\left(2+1\right)\left(2^{p-1}-....\right)=3\left(2^{p-1}-....\right)\)

Chia hết cho 3

Answer 6

Mình hiểu rồi, cảm ơn bạn nhiều nha!!^^

Answer 7

cau nay hoi kho nha

Answer 8

Xét p = 2 thì \(p^2+2^p\)k là số nguyên tố ( loại )

Xét p = 3 thì \(p^2+2^p=17\)là số nguyên tố ( t/m)

Xét \(p\ge3\)thì p : 3 dư 1 hoặc 2 \(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)chia hết cho 3 ; p lẻ

Ta có : \(p^2+2^p=p^2-1+2^p+1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)+3M\)chia hết cho 3 ( vì p lẻ )

Suy ra dpcm

Answer 9

mấy chị học giỏi ghê á

Answer 10

Vì khi p lẻ thì 2^p có dạng 3k+2 nên khi p lẻ thì 2^p+1 chia hết cho3

Answer 11

tôi ko biết

Answer 12

dhfhf8h7+f78h+rrfh79fh79fdh7d9fh79jhdf7jhydoghslghdlfhgfdklhgjfdlkhjkdlhjdjh;dfhjfdkhjfljhfdklhjdklhjdlkjdhkjvhjfkdlhjfdklhjfhlkjfdklhjflhkjdlkhjfdlhkjdfklhfjdlhkfdjhjklhdjfhldfjhflkdhjdlihjdflhjfdlkhjflkhjfdlkhjdzlihzjdflhjfdzljfzldhjdhlfjlkfhjlhkjhljhlijgzlisfgjdslgjzdlgjdzghjfd;h;odliihjdfpihjdfphodjhpofjhglojglghjdighdoogidhgoihdfoidgiobhzdbzdbnfgihbifghbfihboiz;ghdi;ghrid