Bài 1:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng).
Áp dụng vào bài toán:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(1)
Sử dụng BĐT Cauchy, ta được:
\(x^2+1\ge2x;\)\(y^2+1\ge2y;\)\(z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)
Cộng (1) với (2) theo vế: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
Thay \(x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Suy ra: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)(đpcm).
Bài 2:
Ta có: \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\)
\(=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right).\left(a^3-b^3\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
Suy ra \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)(2)
Cộng (1) với (2) theo vế, ta được:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)(đpcm).
