Bài 1 : cho x, y thoả mãn \(xy\ge2\). Tìm giá trị nhỏ nhất
\(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+xy\)
Bài 2 : cho số thực x thoả mãn 0 < x < 1. Tìm Min thức
\(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)
Bài 3 : Cho a, b, c là các số lớn hơn 1
Chứng minh \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)
Bài 4 : cho các số dương a
Chứng minh \(a^2+\frac{36}{a+1}\ge16\)
Bài 5 :
a, tìm tất cả số hữu tỉ x sao cho \(A=x^2+x+6\) là 1 số chính phương
b, Cho x > 1 và y > 1
Chứng minh \(\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(y-1\right)}\ge8\)
Bài 1:
Ta có: \(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{y^2}{4}}\)
Đặt \(\left(x;\frac{y}{2}\right)=\left(a;b\right)\left(a,b>0\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\\ab\ge1\end{cases}}\)
Ta có: \(P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\)
\(\ge\frac{1}{ab+a^2}+\frac{1}{ab+b^2}+2ab=\frac{1}{ab}+2ab\)
\(=\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+ab\ge2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(ab=\frac{1}{ab}\Rightarrow ab=1\Rightarrow xy=2\)
Bài 3:
Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>1\right)\)
Khi đó:
\(BĐTCCM\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\ge12\)
Thật vậy vì ta có:
\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\)
\(=\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{z}+\frac{z^2+2z+1}{x}\)
\(=\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\right)+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{z}\cdot\frac{2z}{x}}+6\sqrt[6]{\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{z}\cdot\frac{z^2}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}}=6+6=12\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài 5:
a) Đặt \(A=x^2+x+6=m^2\left(m\inℤ\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+23=4m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2m\right)^2=-23\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-2m+1\right)\left(2x+2m+1\right)=-23=1\cdot\left(-23\right)=\left(-1\right)\cdot23\)
Xét bảng sau:
| 2x-2m+1 | 1 | 23 | -1 | -23 |
| 2x+2m+1 | -23 | -1 | 23 | 1 |
| x | -6 | 5 | 5 | -6 |
| m | -6 | -6 | 6 | 6 |
Vậy \(x\in\left\{5;-6\right\}\)
Bài 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương, ta được: \(\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\ge2\sqrt{\frac{2x}{1-x}.\frac{1-x}{x}}=2\sqrt{2}\)
Ta có: \(A-\left(\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\right)=\frac{2\left(1-x\right)}{1-x}+\frac{1-\left(1-x\right)}{x}=3\)
\(\Rightarrow A=3+\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\ge3+2\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=\sqrt{2}-1\)
Bài 4: Xét hiệu hai vế:
\(a^2+\frac{36}{a+1}-16=\frac{a^3+a^2+36-16\left(a+1\right)}{a+1}=\frac{\left(a-2\right)^2\left(a+5\right)}{a+1}\ge0\)*đúng với mọi a dương*
\(\Rightarrow a^2+\frac{36}{a+1}\ge16\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2
