Question

Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB = 3cm , AC= 4cm và BC = 5cm.

a) Tam giác ABC là tam giác gì?Vì sao?

b)Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA=BD.Từ D vẽ Dx vuông góc với BC và cắt AC tại H.Chứng minh BH là tia phân giác góc ABC.

c)Vẽ trung tuyến AM.Chứng minh tam giác AMC cân

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Biết AH= 4cm,HB= 2cm,HC= 8cm

a) Tính độ dài các cạnh AB,AC

b) Chứng minh góc B > góc C

Bài 3 : Cho góc xOy có Oz là tia phân giác,M là điểm bất kì thuộc tia Oz.Qua M kẻ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B cắt tia Ox tại D.

a) Chứng minh tam giác AOM = tam giác BOM từ đó suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b) Tam giác DMC là tam giác gì?Vì sao?

c) Chứng minh DM + AM < AC

Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A= 60 độ,phân giác của góc BAC cắt BC tại E.Kẻ EK vuông góc AB tại K (K thuộc A).Kẻ BD vuông góc AE tại D (D thuộc AE).Chứng minh

a) Tam giác ACE = tam giác AKE

b) AE là đường trung trực của đoạn thẳng CK

c) KA = KB

d) EB > EC

Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA.

a) Chứng minh góc BAD = góc BDA

b) Chứng minh AD là tia phân giác của góc HAC

c) Vẽ DK vuông góc AC.Chứng minh AK = AH

d) Chứng minh AB + AC < BC + AH

Bài 6 : Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC= 10cm.Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC,đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại M. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BM.Chứng minh rằng :

a) Tam giác ABC vuông tại A 

b) AB = DC

c) Ba đường thẳng AB , MK ,CD cùng đi qua một điểm

Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Trên cạnh huyền BC lấy điểm K sao cho CK = CA.Vẽ CM vuông góc AK tại M.Vẽ AD vuông góc BC tại D.AD cắt CM tại H.Chứng minh: 

a) Tam giác MCK = tam giác MCA 

b) HK // AB

c) HD < HA

Answer 1

1

a) Xét \(\Delta\)ABC:AB²+AC²=9+16=25=BC²=>\(\Delta\)ABC vuông tại A

b) Xét \(\Delta\)ABH và\(\Delta\)DBH:

                  BAH=BDH=90

                  BH chung

                  AB=DB

=>\(\Delta\)ABH=\(\Delta\)DBH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)=>ABH=DBH=>BH là tia phân giác góc ABC

c) Áp dụng Định lý sau:"trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền"cho tam giác vuông ABC, ta có:AM=1/2BC=CM

Suy ra \(\Delta\)AMC cân tại M

Answer 2

2.

a) Áp dụng Định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABH, ta có:

AB²=BH²+AH²=2²+4²=>AB=\(\sqrt{20}\)cm

Áp dụng Định lý Pythagoras cho tam giác vuông ACH, ta có:

AC²=AH²+CH²=4²+8²=>AC=\(\sqrt{80}\)cm

b) Xét \(\Delta\)ABC:AB<AC(Suy ra trực tiếp từ kết quả câu a)

Suy ra: B>C (Định lý về cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Answer 3

3.

a)Xét \(\Delta\)AOM và \(\Delta\)BOM:

                OAM=OBM=90

                AOM=BOM

                OM chung

=>\(\Delta\)AOM=\(\Delta\)BOM(cạnh huyền-góc nhọn)=>AO=BO và AM=BM=>OM là đường trung trực của AB

b)Xét \(\Delta\)AMD và\(\Delta\)BMC:

                 DAM=CBM=90

                  AM=BM(chứng minh trên)

                  AMD=BMC(2 góc đối đỉnh)

=>\(\Delta\)AMD=\(\Delta\)BMC(g-c-g)=>DM=CM=>\(\Delta\)CMD cân tại M

c)Do DM=CM(chứng minh trên)

Nên:DM+AM=MC+AM=AC

Suy ra DM+AM=AC

Answer 4

4.

a)Xét \(\Delta\)ACE và\(\Delta\)AKE:

                ACE=CKE=90

                 AE chung

                 CAE=KAE

=>\(\Delta\)ACE=\(\Delta\)AKE(cạnh huyền-góc nhọn)

b)\(\Delta\)ACE=\(\Delta\)AKE(chứng minh trên)=>AC=AK và EC=EK=>AE là đường trung trực của CK

c)Xét \(\Delta\)KEB và \(\Delta\)KEA:

                BKE=AKE=90

                 EK chung

                 EBK=EAK(\(\Delta\)ABC có A=90;A=60=>B=30)

=>\(\Delta\)KEB=\(\Delta\)KEA(g-c-g)=>KA=KB

d)\(\Delta\)KEB=\(\Delta\)KEA(chứng minh trên)=>EB=EA

Xét \(\Delta\)ECA:C=90=>AE>EC(quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác vuông)

Mà EB=EA

Suy ra:EB>EC

Answer 5

5.

a)Xét \(\Delta\)ABD:AB=DB=>\(\Delta\)ABD cân tại B=>BAD=BDA

b)Xét \(\Delta\)AHD và \(\Delta\)ACD:

                AHD=AKD=90

                AD chung

                 HDA=KDA(HDA=BAD, BAD và KDA cùng phụ với KAD)

=>\(\Delta\)AHD=\(\Delta\)ACD(cạnh huyền-góc nhọn)=>HAD=KAD=>AD là tia phân giác góc HAC

c)\(\Delta\)AHD=\(\Delta\)ACD(chứng minh trên)=>AK=AH

d)Xét \(\Delta\)AHB:AB<BH+AH(Bất đẳng thức tam giác)

   Xét \(\Delta\)AHC:AC<AH+CH(Bất đẳng thức tam giác)

Suy ra AB+AC<BC+2AH

Answer 6

6.

a)Xét \(\Delta\)ABC:AB²+AC²=6²+8²=100=BC²

Nên theo Định lý Pythagoras, ta suy ra \(\Delta\)ABC vuông tại A

b)Xét \(\Delta\)MCD và \(\Delta\)MBA:

                CDM=BAM=90

                CM=BM(M nằm trên đường trung trực của BC)

                 CMD=BMA(2 góc đối đỉnh)

=>\(\Delta\)MCD=\(\Delta\)MBA(cạnh huyền-góc nhọn)=>AB=CD

c)Gọi O là giao điểm của CD và AB, ta cần chứng minh OM trùng với MK

 Xét \(\Delta\)BCO: 2 đường cao là BD và CA cắt nhau tại M=>M là trực tâm của OM=>OM \(\perp\)BC

Mà MK\(\perp\)BC

Suy ra OM trùng MK hay 3 đường thẳng AB, MK,CD đồng quy tại O