Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :
\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .
Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :
\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .
Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Bài 5: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :(x+y)2+7.(x+y)+y2+10=0 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
Bài 7 : CHo các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\times\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho
đăng từng này thì ai làm cho
We have \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^4+2x^2+1+1}{x^2+1}\)
\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2+1}{x^2+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+1}}=2\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=0\))
Vậy \(P_{min}=2\Leftrightarrow x=0\)
Dễ thấy:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Vì a,b,c dương nên a < a + b ; b < b + c ; c < a + b
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\text{}\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy \(\Rightarrow\text{}\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{a+b}< 2\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2011}\right)\)\(=2011\left(x-\sqrt{x^2+2011}\right)\)(1)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)\left(y-\sqrt{y^2-2011}\right)\)\(=2011\left(y-\sqrt{y^2-2011}\right)\)(2)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-2011\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\left(x-\sqrt{x^2+2011}\right)\)(3)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow-2011\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)=2011\left(y-\sqrt{y^2-2011}\right)\)(4)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow-\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=\left(x-\sqrt{x^2+2011}\right)\)(5)
\(\left(4\right)\Leftrightarrow-\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)=\left(y-\sqrt{y^2-2011}\right)\)(6)
Cộng hai vế của (5),(6) \(-x-y=x+y\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x+y=0\)
Vậy x + y = 0
Trl :
Bạn kia làm đúng rồi nha!
Hok tốt
~ nha bạn ~
