Bài 1. a) Cho a là một số tự nhiên và a>1. cmr: \(A=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+a+2\right)-12\)là hợp số
b) Tính \(B=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{1006}+1\right)+1\)
c) Tìm dư khi chia \(x+x^3+x^9+x^{27}\)cho \(x^2-1\)
Bài 2. a) cho abc=1. Rút gọn biểu thức \(M=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
b) Cho a+b+c \(\ne\)0 và \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Tính \(N=\frac{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}{\left(a+b+c\right)^{2013}}\)
Cầu giúp đỡ
1a)
Đặt \(a^2+a+1=t\Rightarrow a^2+a+2=t+1\)
\(\Rightarrow A=t\left(t+1\right)-12=t^2+t-12=t^2-3t+4t-12=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)
\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a+5\right)\)
Mà \(a>1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+a-2>0\\a^2+a+5>0\end{cases}}\forall a>1\)
Vậy A là hợp số
1b)
Ta có :
\(B=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1\)
\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1=....=\left(2^{1006}-1\right)\left(2^{1006}+1\right)+1\)
\(=2^{2012}-1+1=2^{2012}\)
1c)
vì đa thức chia có bậc 2 nên dư có bậc 1 dạng ax+b. Do đó
f(x)=(x2−1).q(x)+ax+b=(x−1)(x+1).q(x)+ax+b(với mọi x)
với x=1 =>a+b=1+1+1+1=4
với x=-1=>-a+b=-2
do đó a+b-a+b=4+(-2)=2
=>2b=2=>b=1
a=3
vậy đa thức dư là 3x+1
2a)
Ta có:
\(M=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\)
\(=\frac{ca}{c+ac+abc}+\frac{abc}{ac+abc+abc^2}+\frac{c}{1+c+ca}\)
\(=\frac{ca}{c+ca+1}+\frac{1}{ac+1+c}+\frac{c}{1+c+ca}=1\)
2b)
\(a^3+b^3+c^3=abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ca-bc\right)=0\)
Mà \(a+b+c\ne0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=3a^{2013};\left(a+b+c\right)^{2013}=\left(3a\right)^{2013}\)
\(\Rightarrow N=\frac{3a^{2013}}{\left(3a\right)^{2013}}=\frac{1}{3^{2012}}\)
