Question

Bài 1: 

1. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào góc \(\alpha\)( Với \(\alpha\)là góc nhọn) 

              \(\left(\tan\alpha+\cot\alpha\right)^2-\left(\tan\alpha-\cot\alpha\right)^2\)

2. So sánh \(\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)và \(\frac{1}{4}\)

(Giúp em câu này nữa thôi ạ)

Answer 1

1) \(\left(\tan\alpha+\cot\alpha\right)^2-\left(\tan\alpha-\cot\alpha\right)^2\)

= \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha+2\tan\alpha.\cot\alpha-\tan^2\alpha+2\tan\alpha.\cot\alpha-\cot^2\alpha\)

= \(4\tan\alpha.\cot\alpha\)

= \(4.\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=4\)

2) \(\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)

= \(\frac{4-2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}\)

= \(\frac{1}{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)}\)

Mặt khác: \(\sqrt{2}< 2\Rightarrow2+\sqrt{2}< 4\Rightarrow2+\sqrt{2+\sqrt{2}}< 2+\sqrt{4}=4\)

=> \(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}< 2+\sqrt{4}=4\)

=> \(\frac{1}{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}>\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}>\frac{1}{4}\)