Question

B= 1/3 + 1/3^2 +...+ 1/3^98 + 1/3^99

Chứng minh B<1/2

Answer 1

B = \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow\)3B = \(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\)

Lấy 3B - B = \(\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)

         2B     = \(1-\frac{1}{3^{99}}\)

           B     = \(\left(1-\frac{1}{3^{99}}\right):2\)

                   = \(\left(1-\frac{1}{3^{99}}\right).\frac{1}{2}\)

                   = \(1.\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{99}}.\frac{1}{2}\)

                   = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{99}.2}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)