Question

B= 10⁶ⁿ⁺² + 10³ⁿ⁺¹ +1

CMR : a) B chia hết cho 111 với n là số tự nhiên

          b) B chia hết cho 91 với n lẻ

Answer 1

dùng quy nạp mà làm chứ ko dài lắm

Answer 2

tui làm phân a thui nhé chờ tí

Answer 3

a) 10^(6n+2) +10^(3n+1) +1 chia hết cho 111 (3) 

Đặt S(n) = 10^(6n+2) +10^(3n+1) +1 

Với n= 0 thì S(0) = 10^2 +10^1 +1 =111 cia hết cho 111 

Vậy (3) đúng với n=0 

Giả sử (3) đúng với n=k (k thuộc N*) tức là: 

S(k) = 10^(6k+2) +10^(3k+1) +1 chia hết cho 111 

Ta cần c/m (3) đúng với n= k+1 nghĩa là phải c/m: 

S(k+1) = 10^(6.(k+1) +2) +10^ (3(k+1)+1) +1 chia hết cho 111 

Thật vậy ta có: 

S(k+1) = 10^( 6k+8) +10^(3k+4) +1 

= 10^(6k+2).10^6 +10^(3k+1).10^3 +1 

=> S(k+1) - S(k) = 10^(6k+2). ( 10^6 - 1) + 10^(3k+1).(10^3 -1) 

= 10^(6k+2).999999 + 10^(3k+1).999 

Do 999999 và 999 đều chia hết cho 111 nên S(k+1) - S(k) chia hết cho 111 

Mặt khác S(k) chia hêt cho 111 

=> S(k+1) chia hết cho 111 (đpcm)