Question

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất:

\(D=\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\left(x\ge0\right)\)

\(E=\frac{x+1}{\sqrt{x}}\left(x>0\right)\)

\(F=\sqrt{x}-2+\frac{4}{\sqrt{x}+2}\left(x\ge0\right)\)

\(G=\frac{x}{\sqrt{x}+2}\left(x>0\right)\)

\(H=\frac{x-5}{\sqrt{x}+2}\left(x\ge0\right)\)

Answer 1

:V

Câu đầu cho x > 0 thì dễ hơn ...... 

Sử dụng BĐT AM - GM ta dễ có:\(D=\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\frac{9}{\sqrt{x}+2}}-2=4\)

Đẳng thức xảy ra tại x=1

\(E=\frac{x+1}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2\) Đẳng thức xảy ra tại x=1

Làm 2 cái thôi còn lại tương tự bạn nhé :) 

Answer 2

+ Ta có: \(D=\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\)

       \(D=\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}-2\)

   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho phương trình \(\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\) ta có: 

         \(\sqrt{x}+2+\frac{9}{\sqrt{x}+2}\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right).\left(\frac{9}{\sqrt{x}+2}\right)}=\sqrt{9}=3\)

         \(\Rightarrow\)\(D\ge3-2=1\)

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt{x+2}=\frac{9}{\sqrt{x}+2}\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)^2=9\)

                                               \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2=\pm3\)

                                               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+2=-3\\\sqrt{x}+2=3\end{cases}}\)

                                               \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=-5\left(L\right)\\\sqrt{x}=1\end{cases}}\)

                                               \(\Leftrightarrow x=\pm1\)

 Vậy \(S=\left\{\pm1\right\}\)