Question

An viết lên bảng 7 số dương nhỏ hơn 3 đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong đó luôn có thể chọn ra 3 số a,b,c sao cho:

c² + ab < ac + bc + 1

Answer 1

Ta chia trục số thành các khoảng : [0,1],[1,2],từ 2 đến nhỏ hơn 3

Hiển nhiên 7 số An viết đều nằm trong khoảng này 

mà 7=2.3+1

=> sẽ có 1 khoảng chứa ít nhất 3 số (Nguyên lí Dirichlet)

Gọi 3 số này là a,b,c(a<b<c<0)

Khi đó : \(\left(c-a\right)\left(c-b\right)< 1\)

\(\Rightarrow c\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)< 1\)

\(\Rightarrow c^2-bc-ac+ab< 1\)

\(\Rightarrow c^2+ab< ac+bc+1\)