An và Bình chơi trò chơi sau:
Có 1 bông hoa đỏ, 2 bông hoa tím, 3 bông hoa vàng. Hai bạn lần lượt lấy một hay nhiều bông hoa cùng màu cắm vào lọ. Ai lấy được bông hoa cuối cùng thì người đó thắng.
Khi An nhận chơi lượt đầu tiên trước thì Bình suy nghĩ một lúc lâu rồi nói: "Cho dù cậu có lấy như thế nào trước thì tớ cũng sẽ thắng."
Bình đã chơi như thế nào để chiến thắng?
Ta xét 1 bất biến rất thú vị như sau:
Ta viết số các bông hoa trong mỗi nhóm dưới dạng nhị phân:
\(1=1_2\), \(2=10_2\), \(3=11_3\) và tổng S của các số này được tính theo quy tắc sau:
\(S=01+10+11=00\) (nếu hàng có chẵn số 1 thì KQ bằng 0 còn nếu có lẻ số 1 thì KQ bằng 1)
Ta có 2NX:
NX1: Nếu đến lượt chơi của 1 người nào đó mà tổng S đang bằng 0 thì do dù có chơi như thế nào, tổng S cũng sẽ khác 0.
NX2: Nếu đến lượt chơi của 1 người nào đó mà tổng S đang khác 0 thì luôn có 1 nước đi cho người đó để đưa tổng S về lại bằng 0. (đây chính là chiến thuật để thắng trò chơi)
Trong trò chơi này, ta thấy tổng S ban đầu bằng 0 nên theo NX1, dù An có bốc như thế nào thì tổng S cũng sẽ khác 0. Kế đó, sử dụng NX2, Bình luôn có thể bốc để cho tổng S về lại bằng 0 và cứ tiếp tục như thế, Bình là người sẽ đưa được số sỏi về trạng thái (0,0,0) (vì khi đó \(S=0\))
Cuối cùng là số hoa chứ không phải số sỏi đâu. Trò chơi này chính là 1 phiên bản của trò chơi Nim, bạn có thể tìm hiểu trên mạng.
