Lời giải:
$(y+2)(x^2+1)=2x^3+3x+1$
$\Leftrightarrow y+2=\frac{2x^3+3x+1}{x^2+1}$
\(=\frac{2x(x^2+1)+(x+1)}{x^2+1}=2x+\frac{x+1}{x^2+1}\)
$\Leftrightarrow y+2-2x=\frac{x+1}{x^2+1}$
$x,y$ nguyên nên $y+2-2x$ nguyên $\Leftrightarrow \frac{x+1}{x^2+1}$ nguyên
$\Leftrightarrow x+1\vdots x^2+1$
Khi đó có 2 TH xảy ra:
TH1: $x+1=0$
$\Leftrightarrow x=-1$
Thay vô pt ban đầu suy ra $y=-4$ (tm)
TH2: $x+1\neq 0$. Khi đó $x+1\vdots x^2+1$
$\Rightarrow x+1\geq x^2+1$
$\Leftrightarrow x^2-x\leq 0\Leftrightarrow x(x-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1$
Vì $x$ nguyên nên $x=0$ hoặc $x=1$. Thử vào pt ban đầu suy ra $(x,y)=(0,1), (1,3)$
Vậy.........
