Question

Ai giúp mình với. C/m (a^2+b^2)(x^2+y^2) lớn hơn hoặc bằng (ax+by)^2 Với a,b,x,y thuộc R

Answer 1

(a\(^2\)+b\(^2\))(x\(^2\)+y\(^2\))≥(ax+by)\(^2\)

<=> a\(^2\)x\(^2\)+a\(^2\)y\(^2\)+b\(^2\)x\(^2\)+\(b^2\)y\(^2\)≥(ax)\(^2\)+(by)\(^2\)+2axby

<=>a\(^2\)x\(^2\)-a\(^2\)x\(^2\)+a\(^2\)y\(^2\)+b\(^2\)x\(^2\)+b\(^2\)y\(^2\)-b\(^2\)y\(^2\)-2axby≥0

<=>(ay)\(^2\)-2axby+(bx)\(^2\)≥0

<=>(ay-bx)\(^2\)≥0 ( luôn đúng )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x}\)=\(\dfrac{b}{y}\)