ai chả bt thế nhưng biến đổi thế nào mới quan trọng
\(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\).
\(\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\forall x\).
\(\Leftrightarrow x^2\ge4x-4\forall x\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(y^2\ge4y-4\forall y\left(2\right)\).
Lại có:
\(2\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\).
\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0\forall x;y\).
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4xy\forall x;y\left(3\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(x^2+y^2+2\left(x^2+y^2\right)\ge4x+4y+4xy-8\forall x;y\).
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)\ge4\left(x+y+xy\right)-8\forall x;y\).
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)\ge4.8-8=3.8\)(vì \(x+y+xy=8\)).
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge8\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=0\\y-2=0\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy \(min\left(x^2+y^2\right)=8\Leftrightarrow x=y=2\).
