Câu hỏi của Nguyễn Hoàng Phúc

Question

AI CÓ NÍCH NGỌC RỒNG VIP CHO MIK NHÁ MIK CẢM ƠN NHIỀU!

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Trà My · Accepted Answer

Câu 1Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ => $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ với a/b là phân số tối giản và a,b$\in Z,b\ne0$$\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2$=> a2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên  a=7m => (7m)2=7b2 => 49m2=7b2 => 7m2=b2 => b2 chia hết cho 7=> b chia hết cho 7 Do đó a và b vẫn có ước chung là 7 suy ra phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết đưa ra=>$\sqrt{7}$ là số vô tỉCâu trả lời: Câu 1Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ => $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ với a/b là phân số tối giản và a,b$\in Z,b\ne0$$\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2$=> a2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên  a=7m => (7m)2=7b2 => 49m2=7b2 => 7m2=b2 => b2 chia hết cho 7=> b chia hết cho 7 Do đó a và b vẫn có ước chung là 7 suy ra phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết đưa ra=>$\sqrt{7}$ là số vô tỉ

Trà My · Answer

Câu 2: a)$\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$$=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(d^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$ta có đpcmb) $\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2$<=>$a^2c^2+2abcd+b^2d^2-a^2c^2-b^2c^2-a^2d^2-b^2d^2\le0\Leftrightarrow2abcd-b^2c^2-a^2d^2\le0$<=>$-\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\le0\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0$ luôn đúng!Câu 3: Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được: $\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)$<=>$\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2\le x^2+y^2=S$=>minS=2 <=> x=y=1Câu trả lời: Câu 2: a)$\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$$=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(d^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$ta có đpcmb) $\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2$<=>$a^2c^2+2abcd+b^2d^2-a^2c^2-b^2c^2-a^2d^2-b^2d^2\le0\Leftrightarrow2abcd-b^2c^2-a^2d^2\le0$<=>$-\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\le0\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0$ luôn đúng!Câu 3: Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được: $\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)$<=>$\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2^2\le2\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow2\le x^2+y^2=S$=>minS=2 <=> x=y=1

KAl(SO4)2·12H2O · Answer

Câu 1:$\text{Tạm coi: }\sqrt{7}\text{ là số vô tỉ }$$\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℤ;b\ne0\right)$Ko tính tổng quát, tạm coi: (a; b) = 1$\Rightarrow7=\frac{a^2}{b^2}$$\Leftrightarrow a^2=\frac{b}{7^2}$$\Rightarrow a^2⋮7$7 là số nguyên tố$\Rightarrow a⋮7$$\Rightarrow a^2⋮49$$\Rightarrow7b^2⋮49$$\Rightarrow b^2⋮7$$\Rightarrow b⋮7$$\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\left(\text{trái với giả sử}\right)\left(\text{gỉa sử ko chính xác}\right)$$\Rightarrow\sqrt{7}\text{là số vô tỉ}$Câu 2:a) Ta có: $\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2$$=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2adbc+\left(bc\right)^2$$=\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2$$=\left[\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2\right]+\left[\left(bd\right)^2+\left(bc\right)^2\right]$$=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)$$=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(đ\text{pcm}\right)$b) Ta có: $\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$$\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$$\Leftrightarrow2abcd\le a^2d^2+b^2c^2$$\Leftrightarrow0\le a^2d^2+b^2c^2-2abcd$$\Leftrightarrow0\le\left(ad-bc\right)^2\left(\text{tmyc}\right)$$"="\Leftrightarrow ad-bc=0\Rightarrow ab=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đ\text{pcm}\right)$Câu 3:$x-y=2\Leftrightarrow x=y+2$Thay P, ta được:$P=\left(y+2\right)^2+y^2-\left(x+y\right)y$$P=y^2+2y+4$$P=\left(y+1\right)^2+3$$P\ge3$$"="\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\x=1\end{cases}}\Rightarrow A_{\text{MIN}}=3$Câu trả lời: Câu 1:$\text{Tạm coi: }\sqrt{7}\text{ là số vô tỉ }$$\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℤ;b\ne0\right)$Ko tính tổng quát, tạm coi: (a; b) = 1$\Rightarrow7=\frac{a^2}{b^2}$$\Leftrightarrow a^2=\frac{b}{7^2}$$\Rightarrow a^2⋮7$7 là số nguyên tố$\Rightarrow a⋮7$$\Rightarrow a^2⋮49$$\Rightarrow7b^2⋮49$$\Rightarrow b^2⋮7$$\Rightarrow b⋮7$$\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\left(\text{trái với giả sử}\right)\left(\text{gỉa sử ko chính xác}\right)$$\Rightarrow\sqrt{7}\text{là số vô tỉ}$Câu 2:a) Ta có: $\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2$$=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2adbc+\left(bc\right)^2$$=\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2$$=\left[\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2\right]+\left[\left(bd\right)^2+\left(bc\right)^2\right]$$=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)$$=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(đ\text{pcm}\right)$b) Ta có: $\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$$\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$$\Leftrightarrow2abcd\le a^2d^2+b^2c^2$$\Leftrightarrow0\le a^2d^2+b^2c^2-2abcd$$\Leftrightarrow0\le\left(ad-bc\right)^2\left(\text{tmyc}\right)$$"="\Leftrightarrow ad-bc=0\Rightarrow ab=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đ\text{pcm}\right)$Câu 3:$x-y=2\Leftrightarrow x=y+2$Thay P, ta được:$P=\left(y+2\right)^2+y^2-\left(x+y\right)y$$P=y^2+2y+4$$P=\left(y+1\right)^2+3$$P\ge3$$"="\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\x=1\end{cases}}\Rightarrow A_{\text{MIN}}=3$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)