Question

AE cho mk hỏi bài này xíu

Cho x, y, z >0 và x + y + z =1. Tìm GTLN của P =x/(x + 1) + y/( y + 1) + z/(z + 1)

 

 

Answer 1

P = (x +1 -1)/(x +1) + (y +1 -1)/(y +1) + (z +1 -1)/ (z+1) 
= 3 - [ 1/(x+1) + 1/(y +1) + 1/(z +1) ] 
Áp dụng BĐT cô si, ta có: 
[(x +1) + (y +1) + (z +1)]. [1/(x+1) + 1/(y +1) + 1/(z +1) ] ≥9 
=> 1/(x+1) + 1/(y +1) + 1/(z +1) ≥ 9/4 ( do x + y + z =1) 
=> P ≤ 3/4 
Dấu " =" xảy ra <=> x = y = z = 1/3 
Vậy maxP = 3/4 
Lưu ý: bạn cần cm BĐT phụ:
Cho x, y, z >0, ta có: 
(x +y +z) (1/x +1/y +1/z) ≥ 9 
Chứng minh nhanh như sau: 
Theo bđt cô si đã biết, ta có: x + y + z ≥ 3∛(xyz) và 1/x +1/y + 1/z ≥ 3∛[1/(xyx)] 
⇒(x + y + z)(1/x + 1/y +1/z) ≥ 3∛(xyz) . 3∛[1/(xyx)] =9 
Dấu “=” của bđt xảy ra ⇔ x = y = z 

Answer 2

\(P=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+...\)

  = \(3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt Schwarz ta có \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}\)\(=\frac{9}{4}\)

do đó P<= 3-9/4=3/4

dấu = xảy ra <=> x=y=z=1/3

Answer 3

_Hờ Min và Max lớp 6 học rồi mà=)))Sao ghi lớp 8?