Question

a)Chứng minh rằng:A=2+2²+...+2²⁰¹⁰ chia hết cho 3 và 7.

b)Chứng minh rằng:B=3+3²+...+3²⁰¹⁰ chia hết cho 4 và 13.

Answer 1

Ta có :

A = 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰

A = ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) + ... + ( 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰ )

A = 2 . ( 1 + 2 ) + 2³ . ( 1 + 2 ) + ... + 2²⁰⁰⁹ . ( 1 + 2 )

A = 2 . 3 + 2³ . 3 + ... + 2²⁰⁰⁹ . 3

A = 3 . ( 2 + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁹ ) \(⋮\)3

A = 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰

A = ( 2 + 2² + 2³ ) + ( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ ) + ... + ( 2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰ )

A = 2 . ( 1 + 2 + 2² ) + 2⁴ . ( 1 + 2 + 2² ) + ... + 2²⁰⁰⁸ . ( 1 + 2 + 2² )

A = 2 . 7 + 2⁴ . 7 + ... + 2²⁰⁰⁸ . 7

A = 7 . ( 2+ 2⁴ + ... + 2²⁰⁰⁸ ) \(⋮\)7

B = 3 + 3² + ... + 3²⁰¹⁰

B = ( 3 + 3² ) + ... + ( 3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰ ) 

Làm tương tự chứng minh được B \(⋮\)4

B = 3 + 3² + ... + 3²⁰¹⁰

B = ( 3 + 3² + 3³ ) + ... + ( 3²⁰⁰⁸ + 3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰ )

Làm tương tự chứng minh được B \(⋮\)13

Answer 2

a, \(A=2+2^2+...+2^{2010}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2.3+2^3.3+...+2^{99}.3\)

\(\Leftrightarrow A=3\left(2+2^2+...+2^{99}\right)\)chia hết cho 3 

Answer 3

a) Ta có : A=(2+2³+2⁵)+(2²+2⁴+2⁶)+.....+(2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁸+2²⁰¹⁰⁾

                  A=2.(1+2²+2⁴)+2².(1+2²+2⁴)+...+2²⁰⁰⁶.(1+2²+2⁴)

                A=2.21            +2².21             +...+2²⁰⁰⁶.21

                A= 21.(2+2²+...+2²⁰⁰⁶)

                A=3.7.(2+2²+....+2²⁰⁰⁶)   chia hết cho cả 3 và 7

b)b₁. Ta có : B=(3+3²)+...+(3²⁰⁰⁹+3²⁰¹⁰)

                    B=3.(1+3)+...+3²⁰⁰⁹.(1+3)

                    B=3.4        +...+3²⁰⁰⁹.4

                    B= 4.(3+...+3²⁰⁰⁹) chia hết cho 4

b₂₎Ta có : B= (3+3²+3³)+...+(3²⁰⁰⁸+3²⁰⁰⁹+3²⁰¹⁰)

                 B=3.(1+3+3²)+...+3²⁰⁰⁸.(1+3+3²)

                 B= 3.13    +.....+3²⁰⁰⁸.13

                 B=13.(3+.....+3²⁰⁰⁸) chia hết cho 13

NHỚ KICK CHO MÌNH NHA