Question

aCho 2 số thực a,b Chứng minh rằng `(a^2 + b^2)/2 >= ab + (a - b)^2/(a^2 + b^2 + 2)`
b.Cho hai số dương a,b thỏa mãn điều kiện `a + b <= 3`
Tìm GTNN của biểu thức : `Q = b - a + 20/a + 7/b`

Gấp ạ

Answer 1

a.

Biến đổi tương đương:

\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{a^2+b^2+2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a^2+b^2+2\right)}\ge0\) (luôn đúng)

b.

\(Q=-6\left(a+b\right)+5\left(a+\dfrac{4}{a}\right)+7\left(b+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(Q\ge-6.3+5.2\sqrt{\dfrac{4a}{a}}+7.2\sqrt{\dfrac{b}{b}}=16\)

\(Q_{min}=16\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)