vì abc chia hết cho 27, mà \(27=3^3\)=> abc phải chia hết cho 3
để abc chia hết cho 3 <=> a+b+c \(⋮\)3
do abc chia hết cho 3 phụ thuộc vào tổng các chữ số
=> \(abc⋮3\Rightarrow bca⋮3\)hay bca chia hết cho 27
abc chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)( 100a + 10b + c ) chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)10 . ( 100a + 10b + c ) chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)1000a + 100b + 10c chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)999a + ( 100b + 10c + a ) chia hết cho 27
Mà 999a chia hết cho 27 \(\Rightarrow\)bca chia hết cho 27 .
Giả sử \(\overline{abc}\)chia hết cho 27 thì trước hết \(\overline{abc}\)phải chia hết cho 9 \(\Rightarrow\)a + b + c chia hết cho 9
\(\Rightarrow\overline{bca}\)cũng chia hết cho 9 \(\Rightarrow\overline{bca}=9m\left(m\in N\right)\)
Theo bài ra ta có :
\(\Leftrightarrow\left(100a+10b+c\right)-\left(100b+10c+a\right)=9\left(3k-m\right)\)
\(\Leftrightarrow99a-90b-9c=9\left(3k-m\right)\)
\(\Leftrightarrow11a-10b-c+m=3k\)
\(\Leftrightarrow21a-10\left(a+b+c\right)+9c+m=3k\)
Vế phải chia hết cho 3 mà các số : \(21a;10\left(a+b+c\right)\)và \(9c\)đều chia hết cho 3
\(\Rightarrow m\)cũng chia hết cho 3
\(\Rightarrow m=3n\left(n\in N\right)\)
\(\Rightarrow\overline{bca}=9m=27n\)
\(\Rightarrow\overline{bca}\)chia hết cho 27 ( đpcm )
