Question

a+b>=1 và a>0

tìm gtnn \(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

Answer 1

\(A=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)

Mà \(a+b\ge1\Leftrightarrow b\ge1-a\). Suy ra \(A\ge2a+\frac{1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2=a+\frac{1}{4a}+a+b^2-\frac{1}{4}\)

Mà \(a+b\ge1\Leftrightarrow a\ge1-b\). Suy ra

\(A\ge a+\frac{1}{4a}+b^2-b+\frac{3}{4}=a+\frac{1}{4a}+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)

Áp dụng bđt Cosi: \(\Rightarrow A\ge2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\Leftrightarrow A\ge\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra tại a=b=1/2