Question

\(^{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2}\)\(\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

Answer 1

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\frac{a^2}{4}+b^2\ge ab\)

\(\frac{a^2}{4}+c^2\ge ac\)

\(\frac{a^2}{4}+d^2\ge ad\)

\(\frac{a^2}{4}+e^2\ge ae\)

Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

\("="\Leftrightarrow\frac{a}{2}=b=c=d=e\)

Answer 2

   

       \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)       

\(=\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)

\(=\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\forall a,b,c,d,e\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)