Question

A=2+2^2+2^3+...+2^60 Chứng minh A chia hết cho 105

Answer 1

A = 2+2²+2³+....+2⁶⁰

A= (2+2²)+(2³+2⁴)+...+(2^59+2^60)

A=2(2+1)+2^3(2+1)+....+2^59(2+1)

A=2.3+2^3.3+...+2^59.3

A=3(2+2^3+....+2^59)

Vì 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3

mà 105 chia hết cho 3

=> A chia hết cho 105

Answer 2

Ta có : A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + ... + 2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

=  (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)   (Có 15 cặp)

= 2(1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2⁵⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

= 2.15 + 2⁵.15 + ... + 2⁵⁷.15 

= 15(2 + 2⁵ + ... + 2⁵⁷) \(⋮\)15 (1)

Lại có A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶  + ... +  2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

             =  (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... +  (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)  

             = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + ... + 2⁵⁸(1 + 2 + 2²)

             = 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2⁵⁸.7

             = 7(2 + 2⁴ + ... + 2⁵⁸) \(⋮\)7

=> \(A⋮7\)(2)

Vì ƯCLN(15;7) = 1

Từ (1) (2) =>  \(A⋮15.7\Rightarrow A⋮105\left(\text{đpcm}\right)\)