Question

a)     tìm \(x\in Z\) để \(\frac{x^2+x+3}{x+1}\in Z\)

b)   tìm x,y nguyên biết x+2xy+y=0

Answer 1

a) \(\frac{x^2+x+3}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+3}{x+1}=x+\frac{3}{x+1}\)

x là số nguyên nên để \(\frac{x^2+x+3}{x+1}\) nguyên thì \(\frac{3}{x+1}\) nguyên => 3 chia hết cho x+ 1

=> x +1 \(\in\)Ư(3) = {-3;-1;1;3}

+) x+ 1 = -3 => x = -4

+) x+ 1= -1 => x = -2

+) x+ 1 = 1 => x = 0 

+) x + 1 = 3 => x = 2

Vậy...

b) x + 2xy + y = 0

=> x(1 + 2y) = -y . Vì y nguyên nên 1 + 2y khác 0  ( Do nếu 1 + 2y = 0 thì y = -1/2 không phải là số nguyên)

=> x = \(\frac{-y}{2y+1}\)

Để x nguyên thì y phải chia hết cho 2y + 1

=> 2y chia hết cho 2y + 1

Mà 2y + 1 luôn chia hết cho 2y + 1 nên hiệu (2y + 1) - 2y chia hết cho 2y + 1

=> 1 chia hết cho 2y + 1 => 2y + 1 \(\in\)Ư(1) = {-1;1}

+) Nếu 2y + 1 = 1 => y = 0 

+) Nếu 2y + 1 = -1 => y = -1 

Thử lại: y = 0 => x = 0 ( Chọn)

y = -1 => x = -1 ( Chọn)

Vậy (x;y) = (0;0) hoặc (-1;-1)