Question

a, Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyên tố 

b, Cho S = 5 + 5^2+5^3+...+5^2013. Chứng tỏ rằng S chia hết cho 31

Answer 1

Mk chỉ tập trung giải câu b thui nha

a) p = 2

b) Ta có S= 5 + 5²+5³+...+5²⁰¹³

              => S = (5+5²+5³)+...+(5²⁰¹¹+5²⁰¹²+5²⁰¹³)

          => S =5(1+5+25)+...+5²⁰¹¹(1+5+25)

         => S = 5.31+....+5²⁰¹¹.31

        => S = 31(5+5⁴+...+5²⁰¹¹)

       => S chia hết cho 31 (ĐPCM)

Answer 2

a) Khi p = 2 thì p + 11 = 13 ( thỏa mãn )

Xét p > 2 :

Khi p = 2k+1 thì p + 11 = 2k + 12 = 2(k+6) mà p > 2 nên p + 11 > 2 nên khi p = 2k +1 thì p+ 11 là hợp số ( loại )

Vậy \(p=2\)

b) \(S=5+5^2+5^3+....+5^{2013}\)

Vì S có 2013 số hạng nên khi chia thành 1 nhóm sẽ có đủ số vì \(2013⋮3\)

\(\Rightarrow S=\left(5+5^2+5^3\right)+......+\left(5^{2011}+5^{2012}+5^{2013}\right)\)

     \(S=5\left(1+5+5^2\right)+.....+5^{2011}\left(1+5+5^2\right)\)

     \(S=5.31+.....+5^{2011}.31\)

     \(S=31\left(5+......+5^{2011}\right)\)

Vì \(S=5+5^2+5^3+....+5^{2013}\)nên \(S\inℕ\)và \(S=31.\left(5+.....+5^{2011}\right)\)

\(\Rightarrow S⋮31\)

Vậy \(S⋮31\left(ĐPCM\right)\)

Answer 3

S=5+5^2+5^3+...+5^2013

S=(5+5^2+5^3)+...+(5^2011+5^2012+5^2013)

S=1.(5+5^2+5^3)+...+5^2011.(5+5^2+5^3)

S=1.155+...+5^2011.155

S=(1+...+5^2011).155

Vì 155 chia hết cho 31 nên S chia hết cho 31.

(mình nghĩ thế thôi, bạn xem có đúng ko, còn phần a mình chưa nghĩ ra)