\(a\text{)}\)
\(A=x^2+4x-5=\left(x-1\right)\left(x+5\right)\)
\(\text{Nếu }x\text{ là số tự nhiên lẻ thì }x=2n+1\text{ (}n\in N\text{ )}\)
\(\text{Khi đó: }A=\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+5\right)=2n.\left(2n+6\right)=4n\left(n+3\right)\)
+ \(n\text{ chẵn thì }n\left(n+3\right)\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+3\right)\text{chia hết cho 2 }\Rightarrow4n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 8}\)
+ \(n\text{ lẻ thì }n+3\text{ chẵn }\Rightarrow n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 2 }\Rightarrow4n\left(n+3\right)\text{ chia hết cho 8}\)
Ta có đpcm.
\(\text{b)}\)
\(x^2+65=y^2\)\(\Rightarrow y^2-x^2=65\Leftrightarrow\left(y+x\right)\left(y-x\right)=65.1=13.5\)
\(\text{Do }x,y\text{ nguyên nên }y+x;y-x\text{ nguyên}\)
\(\text{Mà }y+x>y-x>0\text{ nên ta có:}\)
\(\text{+TH1: }y+x=65\text{ và }y-x=1\Leftrightarrow x=32;y=33\)
\(\text{+TH2:}y+x=13\text{ và }y-x=5\Leftrightarrow x=4;y=9\)
\(\text{Vậy }x\in\left\{4;32\right\}\text{ thì }x^2+65\text{ là số chính phương.}\)
