Question

a, CMR: 1³+2³+3³+.....+2016³ luôn là số chính phương

b, Cho các số nguyên a₁, a_2, a₃,....a₂₀₁₆ có tổng luôn chia hết cho 5

CMR: A = a₁³ + a₂³ + a₃³ + ..... +a₂₀₁₆³ cũng chia hết cho 5

Answer 1

Ai giúp tớ với, nhanh lên gấp lắm :(

Answer 2

Ta sẽ chứng minh:

\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Đẳng thức trên có thể chứng minh bằng quy nạp.

Áp dụng ào bài toán cho ra cả phần a và b.

Answer 3

\(a.\)  Gọi  \(A_k=1+2+3+...+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)  và  \(A_{k-1}=1+2+3+...+k-1=\frac{\left(k-1\right)k}{2}\)

Khi đó, ta có:  \(A^2_k-A^2_{k-1}=\left(A_k-A_{k-1}\right)\left(A_k+A_{k-1}\right)=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}-\frac{\left(k-1\right)k}{2}\right]\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\frac{\left(k-1\right)k}{2}\right]=k^3\)

Do đó, 

\(1^3=A^2_1;\)

\(2^3=A^2_2-A_1^2;\)

\(3^3=A^2_3-A_2^2;\)

\(.........................................................\)

\(2016^3=A_{2016}^2-A^2_{2015}\)

Cộng tất cả các đẳng thức trên vế theo vế, ta được:

\(1^3+2^3+3^3+...+2016^3=A_{2016}^2=\left[\frac{2016\left(2016+1\right)}{2}\right]^2=\left(1008.2017\right)^2\)  là số chính phương