a) Do : \(\overline{abc}⋮37\)
\(\Leftrightarrow100a+10b+c⋮37\)
\(\Rightarrow1000a+100b+10c⋮37\)
Lại có : \(999a⋮37\)
\(\Rightarrow1000a-999a+100b+10c⋮37\)
\(\Leftrightarrow100b+10c+a⋮37\)
\(\Leftrightarrow1000b+100c+10a⋮37\)
\(\Leftrightarrow1000b-999b+100c+10a⋮37\)
\(\Leftrightarrow100c+10a+b⋮37\)
hay : \(\overline{cab}⋮37\) (ddpcm)
b) Ta có : \(xy+12=x+y\)
\(\Leftrightarrow x+y-xy=12\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-y\right)-\left(1-y\right)=11\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(1-y\right)=11\)
Do đó : x-1 và y-1 là các cặp ước của 11
Rồi bạn lập bảng xét các ước của 11.
a.Xét tổng\(11.\overline{abc}+\overline{cab}\)ta có:
\(11.\overline{abc}+\overline{cab}=1110a+111b+111c=111\left(10a+b+c\right)=37.3\left(10a+b+c\right)⋮37\)
Mà \(11.\overline{abc}⋮37\Rightarrow\overline{cab}⋮37\)
xy+12=x+y
\(\Rightarrow xy-x-y=12\)
\(\Rightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=12+1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=13\)
Mà x,y nguyên nên ta có bảng sau:
| x-1 | 1 | -1 | 13 | -13 |
| y-1 | 13 | -13 | 1 | -1 |
| x | 2 | 0 | 14 | -12 |
| y | 14 | -12 | 2 | 0 |
Vây...........
\(_{\overline{abc}⋮37\Rightarrow100a+10b+c⋮37}\)
suy ra 10.(100a+10b+c) \(⋮\)37
1000a+100b+10c \(⋮\)37
mà 999=37.27\(⋮\)37 suy ra 999a \(⋮\)37
1000a+100b+10c -999a \(⋮\)37 suy ra a+100b+10c \(⋮\)37
suy ra 10 (a+100b+10c) \(⋮\)37
suy ra 1000b+100c+10a \(⋮\)37
Mà 999b chia hết cho 37
suy ra 1000b+100c+10a-999b \(⋮\)37
100c+10a+b \(⋮\)37 suy ra\(\overline{cab}⋮37\)
b) x.y-x-y+12=0
suy ra x.(y-1)-(y-1)+11=0
suy ra (x-1).(y-1)=-11
Vì x, y nguyên nên x-1 và y-1 nguyên
suy ra x-1 vầ y-1 thuộc vào ước nguyên của -11
ta có bảng sau:
| x-1 | 1 | -1 | 11 | -11 |
| y-1 | -11 | 11 | -1 | 1 |
| x | 2 | 0 | 12 | -10 |
| y | -10 | 12 | 0 | 2 |
