Question

a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: \(n^2\) chia cho 3 dư 1

b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi \(p^2+2003\)là số nguyên tố hay hợp số ?

                              3 giờ chốt ! làm đúng Phía sau một cô gái tick 3 cái

Answer 1

một số không chia hết cho 3 có hai dạng \(\orbr{\begin{cases}n=3k+1\left(1\right)\\n=3k+2\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét từng cái của (1)

\(\left(1\right)n=3k+1\)

\(\left(1\right)n=3k+1\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1=3\left(k^2+2k\right)+1=3m+1\)chia 3 dư 1 => đúng

\(\left(2\right)n=3k+2\Rightarrow n^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+4=3\left(k^2+4k+1\right)+1=3m+1\) chia 3 dư 1

(1)&(2) => mọi n không chia hết cho 3 thì n^2 chia 3 dư 1.

b)Áp dụng đáp số câu (a) : P n tố >3=> p không chia hết cho 3 (nếu chia hết thì ko nguyên tố)=>p^2=3k+1

=>A= P^2+2003=(3k+1)+2003=3k+2004

A=\(\orbr{\begin{cases}k=2n..\left(k.la.so.chăn\right)\Rightarrow3k+2004=3.2.n+2004\\k=2n+1\Rightarrow3k+2004=3\left(2k+1\right)+2004=6k+2007\end{cases}}\) 

2004 & 2007 cùng chia hết 3 =>A luôn chia hết cho 3=> A là hợp số